Page 213 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
212 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
Bir toplulukta, en az 3 ki¸sinin yılın aynı 1; 2; 3; :::; 119; 120 sayılarından en çok
kaç sayı seçilmelidir ki, en az ikisinin ortak böleni
ayı, haftanın aynı günü ve günün aynı saatinin içinde
do˘ gdu˘ gu kesin bilindi˘ gine göre bu topluluk en az kaç olmasın?
ki¸siden olu¸smaktadır? (UAMO - 2012)
Verilen sayılardan

f1; 2g; f3; 4g; ::; f119; 120g
¸ seklinde 60 tane ikili küme yazalım. Bunların
herbirinden çift sayıları alırsak en kötü durumu elde
etmi¸s oluruz. Yani, 60 tane sayı var ve ortak böleni
olmayan iki sayı yok. Buna göre, en az iki tane ortak
böleni olmayan sayıyı garantilemek için, 1 sayı daha
seçebiliriz. Yani, 61 sayı seçersek, en az iki tane ortak
Yanıt : 2 (7 12 24) + 1 = 4033.
böleni olmayan sayı olaca˘ gı garantidir.
1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21
sayılarından en az kaçını seçersek, toplamları 24
olan iki sayının varlı˘ gını garantileriz?

Verilen sayıları
f21; 3g ; f19; 5g ; f17; 7g ; f15; 11g ; f13g ; f1g
˙
Içinde 15 sarı, 10 mavi ve 8 kırmızı ¸ seklinde 6 kümeye parçalayalım. Bu kümelerin
top bulunan bir torbadan rasgele bir miktar top herbirinden 1 elemanın alınması en kötü durumdur.
çekiliyor. Çekilen topların en az 6’sının kırmızı, en 7’nci elemanı aldı˘ gımızda bu kümelerin en az birinden
3’ünün sarı ve en az 4’ünün mavi olmasını garanti iki eleman birden, yani toplamları 24 olan iki eleman
etmek için en az kaç top çekilmelidir? alınmı¸s olur. Yanıt : 7.

En kötü durum, ilk 25 topun sarı ve 25 ki¸silik bir sınıfta yapılan 5 soruluk
mavi top çekilmesidir. 6 topun kırmızı oldu˘ gunu bir sınavda, herhangi 19 ki¸siden en az 3 ki¸si tam
garantilemek için, 6 top daha çekilmelidir. Böylece, olarak 4 soru ve en az 5 ki¸si tam olarak 2 soru
do˘ gru çözmü¸stür. En az kaç ö˘ grenci, 2 veya 4 soru
25 + 6 = 31
çözmü¸stür?
top çekilirse, en az 6’sının kırmızı, en 3’ünün sarı ve en
az 4’ünün mavi oldu˘ gu garantilenir. En kötü duruma bakalım. Herhangi 19
ki¸siden en az 3 ki¸sinin 4 soru çözmesini garanti etmek
için, en az 25 19 + 3 = 9 ki¸sinin 4 soruyu çözmü¸s
olması gerekir. Benzer ¸sekilde, herhangi 19 ki¸siden en
az 5 ki¸sinin tam 2 soruyu çözdü˘ günü garanti etmek
için, 25 19 + 5 = 11 ki¸sinin 2 soru çözmü¸s olması
gerekir. Yani, en az 9 + 11 = 20 ki¸si 2 veya 4 soru
çözmü¸stür.
˙ Içinde 13 kırmızı ve 8 mavi top bulunan
bir torbadan rasgele bir miktar top çekiliyor. Çekilen
topların en az 6’sının kırmızı ve en az 4’ünün mavi 50 ki¸silik bir sınıfta yapılan 4 soruluk bir
olmasını garanti etmek için en az kaç top çekilmelidir? sınavda, herhangi 40 ki¸siden en az 1 ki¸si tam olarak
(UAMO - 2000) 3 soruyu, en az 2 ki¸si tam olarak 2 soruyu, en az 3
ki¸si tam olarak 1 soruyu do˘ gru, en az 4 ki¸si ise bütün
soruları yanlı¸s çözmü¸stür. Tek sayıda soru çözen
ö˘ grencilerin sayısı en az kaçtır? (UMO - 2008)

Yanıt : 13 + 4 = 17: Yanıt : (50 40 + 1) + (50 40 + 3) = 24: