Page 215 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
214 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir

Tüm terimleri asal sayı olan bir aritmetik F Geometrik dizi F

dizinin be¸sinci terimi en küçük kaç olur? (AIME
1999) Herhangi ardı¸sık iki terimin oranı, yani,
a n+1
r =
Bu dizi 2 ile ba¸slayamaz. Çünkü ortak fark a n
çift olmaz ve e˘ ger tek olursa üçüncü terim çift olur. O sabitse, ya da, dizinin herbir terimi bir önceki teriminin
halde tüm terimler tek sayı olmalıdır. Ortak fark bu r katıysa, diziye geometrik dizi denir.
durumda bir çift sayı olacaktır. Ortak fark 2 veya 4 Örne˘ gin,
olursa terimler arasında, be¸since terime ula¸samadan
2, 6, 18, 54, .. .
3’e bölünenler olaca˘ gından, ortak farkı en küçük 6
dizisi sabit oranı 3 olan bir geometrik dizidir. Herbir
alabiliriz. Bunları deneyerek hemen görebilirsiniz.
terim bir önceki terimin 3 katıdır. Geometrik dizilerde
Buna göre,
r ortak kat olmak üzere, genel terimi
5; 11; 17; 23; 29 a n = k r n
dizisi istenen ¸sekildedir ve be¸sinci terim en küçük 29 formundadır. k sayısı ilk terime uygun olarak bulunur.
bulunur. Ayrıca, bir geometrik dizinin herhangi bir terimini
a n = a 1 r n 1
formülüyle bulabiliriz.

1 3 9 27
a 0 = ; a 1 = ; a 2 = ; a 3 = ;
Terimlerinin tamamı tamsayı olan ve 2 4 8 16
81
sürekli artan bir aritmetik dizide, a 1 = 1’dir. 113 a 4 = ; ::: dizisinin genel terimi nedir?
bu dizinin bir elemanı olacak ¸sekilde kaç tane dizi 32
3
bulunabilir? Her terim bir önceki terimi katıdır. Buna
2
göre, dizinin genel terimi
d artı¸s miktarı olsun. Buna göre, n
3
a n = a 1 + (n 1) d = 113 a n = k
2
olacak ¸sekilde, kaç farklı d olaca˘ gını bulaca˘ gız. a 1 = 1 1
oldu˘ gundan, formunda olacaktır. n = 0 için, k = oldu˘ gundan,
2
4
(n 1) d = 112 = 2 7 1 n
3
a n =
elde edilir. Bu e¸sitli˘ ge göre, d sayısı 112’nin bir böleni 2 2
olmalıdır. 112’nin bölenlerinin sayısı da
bulunur.
(4 + 1) (1 + 1) = 10
bulunur. Yani, 10 farklı dizi bulunabilir.
A¸sa˘ gıdaki dizilerin genel terimlerini
bulunuz.
Terimlerinin tamamı tamsayı olan ve a) a 0 = 5; a 1 = 12; a 2 = 19; a 3 = 26; a 4 = 33; :::
sürekli artan bir aritmetik dizide, a 1 = 1’dir. 2005 2 1 1 1 1
b) a 0 = ; a 1 = ; a 2 = ; a 3 = ; a 4 = ; :::
bu dizinin bir elemanı olacak ¸sekilde kaç tane dizi 3 3 6 12 24
bulunabilir? (AIME 2005)

n
2 1
Yanıt : a) a n = 7n + 5 b) a n = :
Yanıt : 12: 3 2