Page 216 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 215
Do˘ gal sayılardan tam küplerin atılması ile Bir önceki örne˘ ge göre, a 40 sayısı kaçtır?
elde edilen
2; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 10; 11; :::
dizisinin 1010’uncu terimi nedir?
˙ Ilk 1010 sayı içindeki

3
3
3
3
1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; :::; :::; 10 3 2
Yanıt : k = 20 için, x = 5 20 1 = 99; ve a 20 = 99 ’dir.
tamküplerini ataca˘ gız. Bu sayıları atmamı¸s olsaydık,
1010’uncu terim 1010 olurdu. Fakat, bu terimler
atıldı˘ gından 1010’uncu terim aslında 1000’inci
terimdir. O halde, 10 eleman daha ekleyerek 1010’uncu
terimi buluruz. Böylece, yanıt :
1010 + 10 = 1020
bulunur:
1; 8; 15; 22; 29; 36; 43; 50; 57; 64; :::
aritmetik dizisini göz önüne alalım. Bu dizideki
tamkarelerin küçükten büyü˘ ge do˘ gru olu¸sturdu˘ gu
diziyi a n ile gösterelim. Buna göre a 19 + a 20
sayısının 9’a bölümünden kalan kaçtır?

Önceki örnekteki yöntemi uygularsak,
Do˘ gal sayılardan tam karelerin atılması a n dizisinin elemanlarının (7k 1) veya (7k + 1)
ile elde edilen 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11; ::: dizisinin formundaki sayıların karelerinden olu¸saca˘ gını
1994’üncü terimi nedir? (UMO - 1994) görebiliriz. Buna göre,
a 19 ; k = 9 için,
7k + 1 = 7 9 + 1 = 64
sayısının karesidir.
a 20 ; k = 10 için,
7k 1 = 7 10 + 1 = 71

Yanıt : 1994 + 45 = 2039: sayısının karesidir. Böylece,
2
2
2
2
a 19 + a 20 = 64 + 71 10 + 8 2 (mod 9)
elde edilir.
1; 6; 11; 16; 21; 26; 31; 36; 41; 46; :::
aritmetik dizisini göz önüne alalım. Bu dizideki
tamkarelerin küçükten büyü˘ ge do˘ gru olu¸sturdu˘ gu
diziyi a n ile gösterelim. Buna göre a 10 =?

a n = (1; 16; 36; :::) biçimindedir. Bu
1; 9; 17; 25; 33; 41; 49; ::: aritmetik
dizinin elemanlarının 5m + 1 formundadır. Buna göre,
2
dizide bulunan, herhangi bir x sayısının 1 eksi˘ gi 5’e dizisini göz önüne alalım. Bu dizideki tamkarelerin
küçükten büyü˘ ge do˘ gru olu¸sturdu˘ gu diziyi a n ile
bölünmelidir. Bu ise sadece, x sayısı (5k 1) veya
(5k + 1) formunda iken mümkündür. gösterelim. Buna göre a 10 =?
i) x = 5k + 1 ise, k = 0; 1; 2; ::: için,
x 2 f1; 6; 11; 16; 21; 26; :::g ;
ii) x = 5k 1 ise, k = 1; 2; 3; ::: için,
x 2 f4; 9; 14; 19; 24; 29; :::g
bulunur. Buna göre, 2
Yanıt : k = 5 için, x = 8 5 1 = 39; ve a 10 = 39 ’dir.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(a n ) = 1 ; 4 ; 6 ; 9 ; 11 ; 14 ; 16 ; 19 ; 21 ; 24 ; ::: 2 2 +
a n = (8k 1) veya (8k + 1) : k 2 Z
2
olacaktır. Yani, a 12 = 29 = 841 bulunur.