Page 217 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
216 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
f10; 11; 12; :::; 100g sayılarından a n = a n 2 + 2; a 0 = 1; a 1 = 3 ise,
olu¸sturulabilecek maksimum terimli geometrik a 100 + a 101 =?
dizinin son terimi kaçtır?

Ortak çarpan rasyonel olmalıdır.
a
ortak çarpan olsun.
b
Bu durumda,
a a 2
a 1 = x; a 2 = x; a 3 = ( ) x; Yanıt : 4 + 100 2 = 204:
b b
a 3 a 4
a 4 = ( ) x; a 5 = ( ) x; :::
b b a n = 2a n 1 + 3 ve a 0 = 5; a 100 = 500
¸ seklinde devam edecektir. Kabul edelim ki, bu dizinin
ise, a 1 + a 2 + + a 99 =?
5 terimi olsun. Bu durumda, a 5 ’in tamsayı olabilmesi
a 4 4
için, ( ) x tamsayı olmalıdır ki, bu x sayısının b ’e
b
bölünmesi anlamına gelir. b = 2 alırsak, en az 16’ya
bölünmelidir. x en az 16 olmalıdır. a sayısını da 3
alalım. Böylece,
2
3 3
16; 16 = 24; 16 = 36;
2 2 Yanıt : 190:
3 4
3 3
16 = 54; 16 = 81
2 2
alınabilir.

f100; 101; 102; :::; 500g sayılarından a 1 ; a 2 ; :::; a 98 sonlu dizisinin tüm
terimlerinin toplamı 137 ise ve
olu¸sturulabilecek maksimum terimli geometrik dizinin
son terimi kaçtır? a n+1 = a n + 1

e¸sitli˘ gi sa˘ glanıyorsa, a 2 + a 4 + a 6 + + a 98
toplamı kaçtır? (AIME 1984)

a n+1 = a n +1 e¸sitli˘ gi, dizinin bir aritmetik
dizi oldu˘ gunu gösterir. Buna göre, artı¸s miktarı 1
oldu˘ gundan terimler toplamı ,
3
Yanıt : 432. (r = ; a 1 = 128:): a 98 + a 1
2 137 = 98 ( )
2
olur. Çift indisli terimlerde ise artı¸s miktarı 2
olaca˘ gından, toplamı
a 98 + a 2
a 2 + a 4 + a 6 + + a 98 = 49 ( )
2
a n+1 = a n + 3 ve a 0 = 5 ise, a 100 =? a 98 + a 1 + 1
= 49 ( )
2
a n+1 = a n + 3 ifadesi dizinin bir aritmetik a 98 + a 1 1
dizi oldu˘ gunu gösterir. Bu e¸sitlikte n yerine 0’dan 99’a = 49 ( + )
2 2
kadar de˘ gerler verip taraf tarafa toplayalım. ˙
a 1 = a 0 + 3 bulunur. Ilk denklemden,
a 2 = a 1 + 3 a 98 + a 1 = 137
a 3 = a 2 + 3 2 98
olur. Buna göre,

a 100 = a 99 + 3 137 1
a 2 + a 4 + a 6 + + a 98 = 49 + = 93
a 100 = a 0 + 100 3 98 2
e¸sitli˘ ginden, a 100 = 5 + 300 = 305 bulunur. elde edilir.