Page 218 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 217

F Aritmetik Dizide Terimlerin ToplamıF Bir aritmetik dizide ilk 100 terimin
toplamı 10, ilk 10 terimin toplamı da 100 ise, bu
Artı¸s miktarı d olan bir aritmetik dizinin ilk n terim- dizinin ortak farkı kaçtır?
˙
inin toplamını kolayca hesaplayabiliriz. Ilk n terimin
toplamını S n ile gösterirsek, Soruda,
S n = a 1 + a 2 + + a n S 100 = a 1 + a 2 + + a 100 = 10;
= a 1 + (a 1 + d) + + a 1 + (n 1)d S 10 = a 1 + a 2 + + a 10 = 100
= na 1 + (1 + 2 + + (n 1)) d verilmi¸s. Bir aritmetik dizide,
(n 1) n a 1 + a n
= na 1 + d S n = n
2 2
n oldu˘ gundan,
= (a 1 + a n )
2 a 1 + a 100 a 1 + a 10
100 = 10 ve 10 = 100
elde edilir. 2 2
elde edilir. Burada da, a n = a 1 + (n 1) d oldu˘ gunu
Sonuç : Artı¸s miktarı d olan bir aritmetik dizide, n’inci kullanırsak,
eleman, a 1 + (a 1 + 99d)
100 = 10 ve
a n = a 1 + (n 1) d 2
a 1 + (a 1 + 9d)
ile, ilk n elemanın toplamı da 10 = 100
n 2
S n = (a 1 + a n ) bulunur. Böylece,
2
ile bulunur. 2a 1 + 99d = 2 ve 2a 1 + 9d = 20
10
denklemleri bulunur. Taraf tarafa çıkarırsak,
2 99
90d = 20 =
10 5
11
ve buradan da, d = bulunur.
50

a 1 = 2 ve
a n+1 = a n + 2
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan dizinin ilk 50 elemanının toplamı
nedir?
Bir aritmetik dizide ilk 2002 terimin
Artı¸s miktarı 2 oldu˘ gundan, d = 2’dir. toplamı 10, ilk 10 terimin toplamı da 2002 ise, bu
Buna göre, dizinin ortak farkı kaçtır? (U ˙ IMO - 2002)
a 50 = 2 + (50 1) 2 = 100
olur. O halde,
S 50 = 2 + 4 + 6 + + 100
2 + 100
= 50
2
= 2550 Yanıt : 1006 :
5005
bulunur.