Page 220 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 219
a 1 ; a 2 ; a 3 ; ::: dizisi, 1; 2; 3; 5; 7; 4; 1; 2; 3; 5; 7; 4; ::: periyodik
0
1
0
1
= 3 ; a 2 = 3 ; a 3 = 3 + 3 = 4; dizisinde a 1 = 1’dir. Buna göre, a 100 kaçtır?
a 1
2
a 3 = 3 = 9; ::: vb:
biçiminde 3’ün farklı kuvvetlerinin toplamlarının
artan sırada yazılmasıyla elde edilen bir dizi olsun.
Buna göre, a 29 =?
0
0
1
1
a 1 = 3 ; a 2 = 3 ; a 3 = 3 + 3 = 4; Yanıt : a 100 = 5:
2
a 3 = 3 = 9 dizisine dikkat edersek, n’inci terimi
bulmak için, n sayısını 2’nin kuvvetlerine göre yazıp,
2’leri 3 ile de˘ gi¸stirerek elde edebiliriz. Örne˘ gin,
0
0
a 1 için, 1 = 2 ise a 1 = 3 = 1;
1
1
a 2 için, 2 = 2 ise a 2 = 3 = 3;
0
1
0
1
a 3 için, 3 = 2 + 2 ise a 3 = 3 + 3 = 4;
2
2
a 4 için, 4 = 2 ise a 3 = 3 = 9
biçiminde elde edilebilir. Bu dü¸sünceyle,
4
2
3
29 = 2 + 2 + 2 + 2 0 a 1 = 2 ve n 1 için
olarak yazılaca˘ gından, a n+1 = 1 + a n
3
2
0
4
a 29 = 3 + 3 + 3 + 3 = 118 1 a n
olarak tanımlanıyor. Buna göre, a 100 terimi kaçtır?
bulunur.
n yerine sırasıyla 1,2,3,... yazılarak,
a 2 = 3; a 3 = 1=2; a 4 = 1=3 ve a 5 = 2
oldu˘ gu bulunabilir. O halde, dizi periyodik olarak
2; 3; 1=2; 1=3
de˘ gerlerini alacaktır. Yani,
Elemanları Periyodik Devam Eden
a 1 = a 5 = = a 97 = 2
Diziler
olur. Böylece,
a 98 = 3; a 99 = 1=2 ve a 100 = 1=3

F Periyodik Diziler F bulunur.

Bazı dizilerde elemanlar sürekli tekrar eder. Tekrar eden
sayılardaki eleman sayısına dizinin periyodu denir. Bu
tür dizilere periyodik diziler denir ve daha büyük ele-
manları dizinin hangi sayıları ne ¸sekilde tekrar etti˘ gine
ba˘ glı olarak belirleyebiliriz.
Örne˘ gin,
p
5; 1; 3; 2; 4; 1; 3; 5; 1; 3; 2; 4; 1; 3; ::: a 1 = 7 ve a n+1 = ja 16j oldu˘ guna
2
n
dizisinde, elemanlar göre a 100 =?
5; 1; 3; 2; 4; 1; 3
a 1 ’den ba¸slayarak,
¸ seklinde devam etmektedir. Periyot, tekrar eden eleman
q p p p
2
sayısı 7 oldu˘ gundan 7’dir. a 1 = 1 ise, a 100 ’ü kolayca a 2 = ja 16j = 33; a 3 = j33 16j = 17;
1
bulabiliriz. p p p
a 4 = j17 16j = 1; a 5 = j1 16j = 15;
100 = 7 14 + 2
p p p
oldu˘ gundan, 1; 3; 2; 4; 1; 3 sayıları 14 kez tekrar a 6 = j15 16j = 1; a 7 = j1 16j = 15; :::
edecektir. Daha sonra 2 defa daha ilerleyerek, a 99 = 5 olaca˘ gı bulunabilir. Yani,
ve a 100 = 1 buluruz. p
n 7 tek sayı iken, a n = 15 ve n 7 çift sayı
iken, a n = 1
olur. Buna göre, a 100 = 1 olur.