Page 219 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
218 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
On iki terimli bir sayı dizisinin ilk terimi a 1 = 1 ve a n = 10a n 1 + 1 olmak üzere;
12, son terimi 21’dir. Bu dizinin ardı¸sık numaralı n = 2; 3; :::; 1000 için a n sayılarından kaç tanesi
her üç teriminin toplamı 121 ise, sekizinci terimi 37’ye bölünür?
kaçtır? (U ˙ IMO - 2000)

Dizimiz, a 1 ; a 2 ; :::; a 12 olsun.
n tane
z }| {
a 1 = 12 ve a 12 = 21 a 2 = 11; a 3 = 111; a 4 = 1111; :::; a n = 11:::11
verilmi¸s. ¸ seklinde devam etmektedir. 111 = 3 37 oldu˘ gundan;
111, 37’ye bölünür. O halde,
a 1 + a 2 + a 3 = a 2 + a 3 + a 4 =
111, 111111, 111111111,...
= a 10 + a 11 + a 12
= 121 sayıları 37’ye tam bölünecektir. Yani, basamak sayısı
3’ün katı ise 37’ye tam bölünüyor. Buna göre, istenen
e¸sitli˘ gi sa˘ glanıyor.
a 1 + a 2 + a 3 = a 2 + a 3 + a 4 ise, a 1 = a 4 ; ¸ sekilde;
a 4 + a 5 + a 6 = a 5 + a 6 + a 7 ise, a 4 = a 7 ;
1000 3
a 7 + a 8 + a 9 = a 8 + a 9 + a 10 ise, a 7 = a 10
olaca˘ gından, 333
1
a 1 = a 4 = a 7 = a 10 = 12
olur.Di˘ ger yandan, oldu˘ gundan 333 sayı vardır.
a 3 + a 4 + a 5 = a 4 + a 5 + a 6 ise, a 3 = a 6 ;
a 6 + a 7 + a 8 = a 7 + a 8 + a 9 ise, a 6 = a 9 ;
a 9 + a 10 + a 11 = a 10 + a 11 + a 12 ise, a 9 = a 12 = 21
bulunur. Böylece,
Not : Bir dizi sonlu ya da sonsuz olabilir.
a 7 + a 8 + a 9 = 121 n=100
(a n ) n=1
e¸sitli˘ ginden,
gösterimi dizinin, 100 terimli oldu˘ gunu ve n = 1’den
12 + a 8 + 21 = 121 100’e kadar de˘ gerler verilerek dizinin terimlerinin elde
olur ki buradan, a 8 = 88 elde edilir. edilece˘ gini gösterir.

n=k
Bir (a n ) dizisi için, a 0 = 11; a 1 = 12;
n=1
a k = 0 ve
3
a n+1 = a n 1
a n
oldu˘ guna göre, k =?

n = 1; 2; :::; k 1 için
F Geometrik Dizide Terimlerin ToplamıF
a n a n+1 = a n 1 a n 3
Ortak oranı r olan bir geometrik dizinin ilk n terim- e¸sitli˘ ginde, n yerine sırasıyla, 1’den k 1’e kadar
˙
inin toplamını kolayca hesaplayabiliriz. Ilk n terimin de˘ gerler verip, taraf tarafa toplarsak,
toplamını S n ile gösterirsek, a 1 a 2 = a 0 a 1 3
= a 2 a 3 = a 1 a 2 3
S n a 1 + a 2 + + a n
2
= a + ar + ar + + ar n 1 . . .
2 n 1
= a 1 + r + r + + r + a k 1 a k = a k 2 a k 1 3
n
r 1 a k 1 a k = a 0 a 1 3 (k 1)
= a
r 1 elde edilir. Buradan da, a k 1 a k = 11 12 3 (k 1)
elde edilir. olur. a k = 0 oldu˘ gundan,
11 12 3 (k 1) = 0
e¸sitli˘ ginden k = 45 bulunur.