Page 221 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
220 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
a 1 = 1; a 2 = 2 ve n 3 için, a 0 = 1999; a 1 = 2000 ve her n 0
a n 1 tamsayısı için,
a n =
a n 2 1 + a n+1
a n+2 =
oldu˘ guna göre, a 2006 kaçtır? (UMO - 2006) a n
oldu˘ guna göre, a 2001 kaçtır? (U ˙ IMO - 1999)

2
n = 3 için, a 3 = = 2
1
2
n = 4 için, a 4 = = 1
2
1 1
n = 5 için, a 5 = =
2 2
1=2 1 Yanıt : a 2001 = 2000; (Periyot 5,
n = 6 için, a 6 = =
1 2 2001 ; 2 ; 1; 1999; 2000 ):
1=2 1999 1999
n = 7 için, a 7 = = 1 = a 1
1=2
1
n = 8 için, a 8 = = 2 = a 2
1=2
olur. O halde bundan sonraki terimler aynı ¸sekilde
periyodik olarak devam edecektir. Periyot 6
oldu˘ gundan,
n = 6k ise, a n = 1=2;
n = 6k + 1 ise, a n = 1;
n = 6k + 2 ise, a n = 2
olacaktır.
a 1 = 1 olmak üzere, n 1 için,
2006 = 6 334 + 2 8
> 0; n tek ve a n = 0 ise
>
oldu˘ gundan, a 2006 = 2 elde edilir. < 2; n çift ve a n = 0 ise
a n+1 =
> 1; n tek ve a n = 1 ise
>
0; n çift ve a n = 1 ise
:
oldu˘ guna göre,
a) a 99 + a 100 + a 101 =?
b) a 1 ; a 2 ; :::; a 100 de˘ gerlerinden kaçı sıfırdır?

Yanıt : a) 0 + 0 + 2 = 2: b) 50.

a 1 = a 2 = 1 ve a 3 = 1 olmak üzere,
a n = a n 1 a n 3 e¸sitli˘ ginin sa˘ glayan (a n ) dizisi için,
a 202 + a 100 =?
Bir sayı dizisinin birinci terimi 20’dir.
Bundan sonraki her terim kendisinden önceki terimin
karesinin rakamları toplamına 1 eklenerek elde
ediliyor. Bu dizinin yüzüncü terimi kaçtır? (UMO -
1995)

Yanıt : 2: Yanıt : a 100 = 11; (Periyot 3, (5; 8; 11)):