Page 222 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 221
˙
˙
a 1 ; a 2 ; :::; a n ; ::: reel sayı dizisi Dizilerlerle Ilgili Ilginç Sorular
a 2 = 2 ve a n+2 = a n+1 a n
ba˘ gıntılarını sa˘ glıyor. Bu dizinin ilk 100 teriminin a 1 = 1 olmak üzere, a 1 ; a 2 ; :::; a n ; ::: reel
toplamı 200 oldu˘ guna göre, ilk 200 teriminin sayı dizisi gözönüne alınıyor.
toplamını bulunuz. 1 1
a n+1 = 1 + a n +
n n
Dizi,
oldu˘ guna göre, a 100 =?
(a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 1 ; a 2 ; a 3 ); (a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 1 ; ::::
¸ seklinde periyot 6 olmak üzere, periyodik olarak
devam etti˘ gi görülmektedir. Ayrıca, herbir periyottaki 1 1
elemanların toplamı sıfırdır. Yani, a n+1 = 1 + a n +
n n
a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 = 0
e¸sitli˘ ginin her iki tarafına 1 ekleyelim.
a 7 + a 8 + a 9 + a 10 + a 11 + a 12 = 0
1 1
. a n+1 + 1 = 1 + a n + 1 +
. n n
.

olur. Buna göre, = 1 + 1 (a n + 1)
n
200 = a 1 + a 2 + + a 100
n + 1
= (a n + 1)
= a 1 + a 2 + a 3 + a 4
n
= a 2 + a 3 oldu˘ gundan,
= 2 + a 3 101
a 100 + 1 = (a 99 + 1)
e¸sitli˘ ginden, a 3 = 198 bulunur. Buna göre, 100
101 100
200 = 6 33 + 2 oldu˘ gundan, = (a 98 + 1)
a 1 + a 2 + + a 200 = a 1 + a 2 = a 1 + 200 100 99
.
olur. O halde, a 1 ’i bulursak sonuca ula¸sırız. . .
a 3 = a 2 a 1 oldu˘ gundan, 101 100 99 2
= (a 1 + 1)
a 1 = a 2 a 3 = 2 198 = 196 100 99 98 1
çıkar. Buradan da, = 101 2
a 1 + a 2 + + a 200 = 196 + 2 = 194 = 202
elde edilir. olur. Böylece, a 100 = 201 bulunur.

x 1 = 1 ve her n pozitif tamsayısı için,

n > 0 için, a n+2 = a n+1 a n e¸sitli˘ gini x n+1 = 1 + 2 x n + 4
sa˘ glayan tamsayılardan olu¸san (a n ) 1 dizisinin ilk n n
1
1492 teriminin toplamı 1985 ve ilk 1985 teriminin oldu˘ guna göre, x 2000 nedir? (UMO - 2000)
toplamı ise 1492’dir. Buna göre ilk 2001 teriminin
toplamını bulunuz. (AIME 1985)

Yanıt : 2000998; (Her iki tarafa 2 ekleyin):

Yanıt : 986: