Page 223 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
222 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
(a n ) reel sayı dizisi, a 1 = 99 ve n 1 için, a 1 ; a 2 ; a 3 ; :::; a 100 sonlu sayı dizisindeki
2 terimlerden biri a k olsun. a k sayısı, geri kalan 99
a 1 + a 2 + + a n 1 + a n = n a n
sayının toplamından k kadar küçüktür. Buna göre
oldu˘ guna göre, a 99 =? a 10 =?
2
Verilen a 1 + a 2 + +a n 1 + a n = n a n a 1 + a 2 + a 3 + + a 100 = S olsun. Buna
ba˘ gıntısında n yerine n 1 yazılırsa, göre, verilen ba˘ gıntıdan,
2
a 1 + a 2 + + a n 2 + a n 1 = (n 1) a n 1 a k = (S a k ) k
˙
olur. Ikinci e¸sitlikten birinci e¸sitli˘ gi taraf taraf yazılabilir. Buradan, S 2a k = k elde edilir. k yerine
çıkarırsak, 1’den 100’e kadar de˘ gerler verip, taraf tarafa toplarsak,
2 2 2 2
(n 1) a n 1 +a n = n a n ) (n 1) a n 1 = n a n a n S 2a 1 = 1
S 2a 2 = 2
bulunur. Her tarafı a n ’e bölersek,
a n 1 n + 1
= S 2a 100 = 100
a n n 1
100S 2 (a 1 + a 2 + a 3 + + a n ) =
elde edilir. O halde, n = 2; 3; :::; 99 için, 1 + 2 + 3 + 100
a 1 3
= ; elde edilir. Buradan,
a 2 1 100 101
4 100S 2S = ) 98S = 50 101
a 2
= ; 2
a 3 2 2525
a 3 5 e¸sitli˘ ginden, S = bulunur. O halde, S 2a k = k
= ; 49
a 4 3 e¸sitli˘ ginden,
. 2525=49 10 2035
.
. a 10 = =
2 98
100
a 98
= ; bulunur.
a 99 98
e¸sitlikleri taraf tarafa çarpılırsa,
3 4 5 6 98 99 100
a 1
=
a 99 1 2 3 4 96 97 98
a 1 100 99
=
a 99 2 1
olur. a 1 = 99 oldu˘ gundan, a 99 = 1=50 bulunur.
Her n pozitif tamsayısı için, a n 6= 0 ve
a n a n+3 = a n+2 a n+5 ko¸sullarını sa˘ glayan (a n ) 1
n=1
gerçel sayı dizisinde
a 1 a 2 + a 3 a 4 + a 5 a 6 = 6
ise, a 1 a 2 + a 3 a 4 + + a 41 a 42 =? (UMO - 2009)

(a n ) reel sayı dizisi n 2 için, a n a n+3 = a n+2 a n+5 e¸sitli˘ ginden„
a n 1 + a n = 2n e¸sitli˘ gini sa˘ glamaktadır. a 1 = 10
n = k için, a k a k+3 = a k+2 a k+5
ise, a 100 =?
n = k + 1 için, a k+1 a k+4 = a k+3 a k+6
n = k + 2 için, a k+2 a k+5 = a k+4 a k+7
olur. Bu e¸sitlikleri taraf tarafa çarparsak,
a k a k+1 = a k+6 a k+7 elde edilir. Yani,
a 1 a 2 = a 7 a 8 = = a 37 a 38
a 3 a 4 = a 9 a 10 = = a 39 a 40
a 5 a 6 = a 11 a 12 = = a 41 a 42
olaca˘ gından,
a 1 a 2 +a 3 a 4 + +a 41 a 42 = 7 (a 1 a 2 +a 3 a 4 +a 5 a 6 )
= 6 7 = 42
Yanıt : 92 (n yerine n 1 yazıp taraf tarafa çıkarınız.)
bulunur.