Page 224 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 223
S 1 = 1; S 2 = 1 2; S 3 = 1 2 + 3; 1; 8; 15; 22; :::; 540 ve 2; 10; 18; 26; :::; 618
S 4 = 1 2 + 3 4; :::; aritmetik sayı dizilerinde kaç tane ortak sayı
˙
n
S n = 1 2 + 3 4 + + ( 1) n vardır? Ilk ortak eleman ile son ortak eleman
kaçtır?
oldu˘ guna göre, S 95 + S 100 kaçtır? (U ˙ IMO - 1997)
Birinci dizinin genel terimi 7n + 1, ikinci
n
( 1) sayısının varlı˘ gından, n’nin tek
dizinin genel terimi ise 8m + 2’dir. Her iki dizide de
veya çift olmasına göre incelememiz gerekir. n çift ise,
540 1 618 2
n = 2k diyelim. Bu durumda, + 1 = + 1 = 78
7 8
S 2k = (1 2) + (3 4) + + ((2k 1) 2k) oldu˘ gundan, 78’er eleman vardır. Yani,
| {z } | {z } | {z }
1 1 1 m; n 2 f0; 1; 2; :::; 77g
= k ( 1) = k olacaktır. Ortak olan eleman için,
elde edilir. n tek ise, n = 2k + 1 diyelim. Bu kez ise, 7n + 1 = 8m + 2
S 2k 1 = (1 2) + (3 4) + + ((2k 1) 2k) olmalıdır. Buradan,
| {z } | {z } | {z }
1 1 1 8m + 1 7m + m + 1 m + 1
n = = = m +
+ 2k + 1 7 7 7
= k + 2k + 1 = k + 1 elde edilir. n do˘ gal sayı oldu˘ gundan,
7 j m + 1
olur. Böylece,
olmalıdır. Buna göre,
S 95 = S 2 47+1 = 47 + 1 = 48
ve m 2 f6; 13; 20; :::; 62g
için, n sayısı do˘ gal sayı olur. O halde,
S 100 = S 2 50 = 50
62 6
+ 1 = 9
oldu˘ gundan, S 95 + S 100 = 2 bulunur. 7
˙
eleman ortaktır. Ilk ortak eleman m = 6 ve n = 7
iken 50 olur. Son ortak eleman ise,
62 + 1
m = 62 ve n = 62 + = 71
7
iken
8 62 + 2 = 498
Toplamları 19 ve karelerinin toplamı 133 olarak bulunur.
olan üç sayı artan bir geometrik dizi olu¸sturdu˘ guna
göre, bu sayıların en küçü˘ gü kaçtır?

Sayılarımız, x < y < z olsun. Geometrik
dizi olu¸sturduklarından,
y z 2
= ) y = xz
x y
olmalıdır. Di˘ ger taraftan, F Aritmetik Dizilerde Genel Terim Özellikleri F

2
2
2
x + y + z = 19 ve x + y + z = 133
Aritmetik dizilerin genel terimleri birinci derecedendir,
olarak verilmi¸s. O halde, yani an + b formundadır.
2
2
2
2
x + y + z = (x + y + z) 2 (xy + xz + yz) Herhangi iki aritmetik dizinin kar¸sılıklı elemanlarının
çarpımı ise, ikinci derecedendir, yani
2
133 = 19 2 (xy + xz + yz)
2
an + bn + c
2
e¸sitli˘ ginden, xy + xz + yz = 114 bulunur. y = xz
yazarsak, formundadır. Benzer dü¸sünceyle, herhangi üç aritmetik
2
xy + y + yz = y (x + y + z) = 19y = 114 dizinin kar¸sılıklı elemanlarının çarpımı da
2
3
an + bn + cn + d
e¸sitli˘ ginden, y = 6 bulunur. Yani,
xz = 36 ve x + z = 13 formunda olur.
olur. Bu iki denklemden de, x < y < z oldu˘ gu da göz
önüne alınırsa, x = 4 ve z = 9 elde edilir.