Page 225 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
224 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
˙
Iki aritmetik dizinin kar¸sılıklı terimlerinin (a n ) 1 reel sayı dizisi için,
n=1
çarpımı ile olu¸sturulan
a 2 = 5; a 52 = 100 ve a n + a n+1 = a n+2
14; 60; 136:::
oldu˘ guna göre, S = a 1 + a 2 + + a 50 =?
dizisinin be¸sinci terimi kaçtır?
Bu sorunun püf noktası, n 50
Yeni dizinin genel terimi tamsayıları için,
2
a n = an + bn + c S n = a n + a n+1 + a n+2 + + a 50
biçiminde ikinci dereceden olaca˘ gından, ¸ seklinde tanımlamaktır. Buna göre,
a 1 = a + b + c = 14; a n+1 + S n = a n+1 + a n + S n+1 = a n+2 + S n+1
a 2 = 4a + 2b + c = 60; e¸sitli˘ gi vardır. Bu e¸sitlikte,
a 3 = 9a + 3b + c = 136 n = 1 alınırsa, a 2 + S 1 = a 3 + S 2
n = 2 alınırsa, a 3 + S 2 = a 4 + S 3
˙
denklemleri elde edilir. Ikinci denklemi 2 ile çarpıp
n = 3 alınırsa, a 4 + S 3 = a 5 + S 4
denklemleri toplarsak,
....
2a = 14 120 + 136 = 30 n = 49 alınırsa, a 50 + S 49 = a 51 + S 50
elde edilir. Buna göre, taraf tarafa toplanırsa,
e¸sitli˘ ginden a = 15 ve buradan da, b = 1 ve c = 2
bulunur. O halde, yeni dizinin genel terimi a 2 + S 1 = a 51 + S 50
2
a n = 15n + n 2 olur.
bulunur. Böylece, S 50 = a 50 ve a n + a n+1 = a n+2
2
a 5 = 15 5 + 5 2 = 378 oldu˘ gundan
bulunur. a 2 + S 1 = a 51 + a 50 = a 52
elde edilir.

a 2 = 5; a 52 = 100
yerine yazılırsa,
S 1 = 100 5 = 95
bulunur.

˙ Iki aritmetik dizinin kar¸sılıklı terimlerinin
çarpımı ile 10; 35; 72 ::: ¸seklin bir dizi olu¸sturuluyor.
Bu dizinin be¸sinci terimi kaçtır?

2
Yanıt : 182 (a n = 6n + 7n 3).