Page 226 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 225
˙
˙
Toplama ve Çarpma Ilkesiyle Ilgili
Problemler 2 j3xj + j5yj 10
e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan kaç tane (x; y) tamsayı ikilisi
vardır?
F Toplama Ilkesi F
˙

0 jyj 2 olabilir. Buna göre, y = 0;
Ayrık iki i¸slemden biri m farklı ¸sekilde; di˘ geri de n
farklı ¸sekilde yapılabiliyorsa bu i¸slemlerden biri veya jyj = 1 ve jyj = 2 olabilir.
di˘ geri m + n yolla yapılabilir. i) y = 0 olursa, 2 j3xj 10 e¸sitsizli˘ gi, jxj = 1;
jxj = 2 ve jxj = 3 için sa˘ glanır. Yani, 2 3 = 6 tane x
Örne˘ gin; 3 kırmızı ve 5 mavi top arasından 1 top seçmek var. Dolayısıyla, (x; 0) ’ların sayısı 6’dır.
ii) jyj = 1 iken, y = 1 olur. Buna göre,
istiyoruz. 3 kırmızı top arasından 1 top 3 de˘ gi¸sik ¸sekil-
de; 5 mavi top arasından 1 top 5 de˘ gi¸sik ¸sekilde seçilir. 2 j3xj + 5 9 yani 0 j3xj 4 olur ki, bunu
O halde; 1 top; sa˘ glayan x’ler sadece x = 0 veya jxj = 1’dir. O
halde, y = 1 için, x 2 f0; 1; 1g ve y = 1 için
3 + 5 = 8 yine x 2 f0; 1; 1g olmak üzere, 6 tane (x; y) ikilisi

de˘ gi¸sik ¸sekilde seçilebilir. bulunur.
iii) jyj = 2 iken, y = 2 olur. Buna göre, 0 j3xj 0
olur ki bu e¸sitsizli˘ gi sa˘ glayan tek x de˘ geri 0’dır.
Buradan da, (0; 2) ve (0; 2) ikilileri elde edilir.
Böylece, 6 + 6 + 2 = 14 tan (x; y) ikilisinin oldu˘ gu
görülür.

jxj + jyj + jzj = 5 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç
tane (x; y; z) tamsayı çifti vardır?

jxj + jyj = 5 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç tane
(x; y) tamsayı çifti vardır?

5 sayısı, iki pozitif tamsayının toplamı
olarak,
0 + 5; 1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1 ve 5 + 0
Yanıt : 102.
˙
¸ seklinde yazılabilir. Ifademiz mutlak de˘ gerli
oldu˘ gundan, buradaki sayıların negatif veya pozitif
jxj + jyj 2 e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan kaç
olması sonucu de˘ gi¸stirmez. Örne˘ gin, 1 + 4 için,
tane (x; y) tamsayı çifti vardır?
j1j + j4j ; j 1j + j4j ; j1j + j 4j ; j 1j + j 4j
yazılabilir. Buradan 4, (x; y) pozitif tamsayı çifti elde
edilir.
2 + 3; 3 + 2; 4 + 1
toplamlarının her biri içinde benzer dü¸sünceyle, 4’er
(x; y) ikilisi elde edilebilir. 0 + 5 toplamı için,
j0j + j5j veya j0j + j 5j
olabilir. 5 + 0 için de iki tane olaca˘ gından, toplam,
4 + 4 + 4 + 4 + 2 + 2 = 20 Yanıt : jxj + jyj = 0; jxj + jyj = 1; jxj + jyj = 2 için,
1 + 4 + 8 = 13:
tane (x; y) ikilisi elde edilir.