Page 228 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 227
A¸sa˘ gıda, birinci ¸sekilde 1 br kare, ikinci A¸sa˘ gıdaki ¸sekillerde kaçar üçgen vardır?
¸ sekilde 5 br kare, üçüncü ¸sekilde 13 br kare vardır.
¸ Sekiller, basamak sayısı birer artarak devam
etmektedir. Buna göre, 100’üncü ¸sekilde kaç br
kare olacaktır?

¸ Sekil 1 ¸ Sekil 2

¸ Sekil 1’de, 12 tane 1 br kenarlı, 6 tane 2 br
kenarlı ve 2 tane 3 br kenarlı olmak üzere, toplam
12 + 6 + 2 = 20 üçgen vardır.

Dördüncü ¸sekilde 25 br kare, be¸sinci
¸ sekilde de 25 + 16 = 41 kare oldu˘ gu görülebilir. k’ıncı ¸ Sekil 2’de ise,
¸ sekildeki birim kare sayısını a k ile gösterelim. Buna
Tabanı altta olan, formundaki üçgenlerin sayısı :
göre, kare sayıları sırasıyla,
1 br kenarlılar : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15;
a 1 = 1; 2 br kenarlılar : 1 + 2 + 3 + 4 = 10;
a 2 = 5 = 1 + 4 = a 1 + 1 4 3 br kenarlılar : 1 + 2 + 3 = 6;
a 3 = 13 = 5 + 8 = a 2 + 2 4; 4 br kenarlılar : 1 + 2 = 3;
a 4 = 25 = 13 + 12 = a 3 + 3 4 5 br kenarlılar : 1 = 1
¸ seklindedir. Yani, k + 1’inci ¸sekilde, bir önceki k’ıncı olmak üzere, toplam 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35
¸ sekildekinden k 4 daha fazla birim kare vardır. Bunu
üçgen vardır. Di˘ ger taraftan, tabanı üstte olan
matematiksel olarak,
formundaki üçgenlerin sayısı da,
a k+1 = a k + k 4 1 br kenarlılar : 1 + 2 + 3 + 4 = 10;
¸ seklinde yazabiliriz. Buna göre, k’ya, 1’den 99’a kadar 2 br kenarlılar : 1 + 2 = 3;
de˘ gerler verip taraf tarafa toplayalım. olmak üzere 10 + 3 = 13 üçgen vardır. Sonuç olarak,
toplam 13 + 35 = 48 üçgen vardır.
a 2 = a 1 + 1 4

a 3 = a 2+ 2 4

a 4 = a 3 + 3 4
A¸sa˘ gıdaki ¸sekilde kaç üçgen vardır?

+a 100 = a 99+ 99 4
a 100 = a 1 + (1 + 2 + + 99) 4
99 100
e¸sitli˘ ginden, a 100 = 1 + 4 = 19 801 bulunur.
2

A¸sa˘ gıda, birinci ¸sekilde 1 taralı üçgen,
ikinci ¸sekilde 3 taralı üçgen, üçüncü ¸sekilde 6 taralı
üçgen, dördüncü ¸sekilde, 10 taralı üçgen vardır.
¸ Sekiller, kenar sayısı birer üçgen kenarı uzunlu˘ gunda
büyüyecek ¸sekilde yeni taralı üçgenler eklenerek
devam etmektedir. Buna göre, 100’üncü ¸sekilde kaç
taralı üçgen olacaktır?

Yanıt : 220 + 95 = 315:
(Toplam sembolünü kullanmak bazen i¸slemler
kolayla¸stırılabilir. Meraklıları için toplam sembolüyle de
üçgen sayısını nasıl hesaplayaca˘ gımızı verelim.
10 P k (k + 1) 4 P (2k + 1) (2k + 2)
+ = 315
2 2
k=1 k=0
Yanıt : 5050. ¸ seklinde de bulunabilir.)