Page 237 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
236 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
1; 2; 3; 4 rakamlarıyla olu¸sturulan üç 1111’e tam bölünen sekiz basamaklı,
basamaklı tüm sayıların herbirindeki en küçük ve rakamları birbirinden farklı kaç sayı vardır?
en büyük rakamlar toplanırsa sonuç kaç olur?
8 basamaklı sayıyı abcdxyzp ile gösterelim.
Herhangi üç basamaklı abc sayısı ile üç
abcdxyzt = abcd 10000 + xyzp
basamaklı
¸ seklinde yazabiliriz. 10000 = 9 1111 + 1 yazalım. Bu
(5 a) (5 b) (5 c) durumda,
sayısını gözönüne alalım. ¸Simdi sayıları e¸sleyerek abcdxyzp = abcd (9 1111 + 1) + xyzp
iki¸serli gruplayaca˘ gız. Bir sayıyı rakamlarını 5’den = 9 1111 abcd + (abcd + xyzp)
çıkararak elde etti˘ gimiz sayıyla e¸sleyece˘ giz. Yani,
elde edilir. Buna göre, abcdxyzp’nin 1111’e
abc $ (5 a) (5 b) (5 c) bölünebilmesi için, abcd + xyzp toplamı 1111’e
e¸slemesi yapaca˘ gız. bölünmelidir ki, bu sadece bu toplam 9999 iken
(Örne˘ gin, 124 $ 431; 113 $ 442 gibi.) mümkün olabilir.
abcd
abc’deki en küçük ve en büyük rakam a ve b ise,
+ xyzp
(5 a) (5 b) (5 c) sayısında, en küçük ve en
büyük rakam 5 b ve 5 a olur. Bu durumda, 9999
e¸sledi˘ gimiz iki sayının en küçük ve en büyük rakamları e¸sitli˘ gine göre,
toplamı a + x = b + y = c + z = d + p = 9
a + b + (5 b) + (5 a) = 10 olmalıdır. a; b; c; d belirli iken, x; y; z; p tek türlü
olur ki, bu de˘ ger rakamlardan ba˘ gımsız bir sabittir. belirlidir. Buna göre, a; 0 hariç 9 rakam, b; 8 rakam, c;
Bu durumda, tüm sayıların herbirindeki en küçük 6 rakam ve d’de 4 rakam olabilece˘ ginden, toplam
ve en büyük rakamlar toplamı, e¸sleme sayısı kadar 9 8 6 4 = 1728
10’a e¸sittir. O halde, geriye kaç tane böyle e¸sleme
sayı 9999’a bölünecektir.
yapabilece˘ gimizi bulmak kalır. 1,2,3,4 ile yazılabilecek
sayıların sayısı 4 4 4 oldu˘ gundan,
4 4 4
= 32
2 9999’a tam bölünen, fakat 10’a
e¸sleme yapılabilir. O halde, istenen toplam bölünmeyen, rakamları birbirinden farklı sekiz
32 10 = 320 basamaklı kaç sayı vardır? (UAMO-2012)
olur.
8 basamaklı sayıyı abcdxyzp ile
gösterelim. 9999’a bölünen 1728 sayı oldu˘ gu önceki
örnekteki yöntemle bulunabilir. Bu sayıdan, 10’a
bölünenlerin sayısını çıkaraca˘ gız. Bu durumda t = 0
ve d = 9 olacaktır. a için geriye 8 rakam kaldı, b için
6 ve c için de 4 rakam alınabilir. Böylece, abcdxyzp
sayılarından 10’a bölünenlerin sayısı
x; y; z 9 pozitif tamsayılar olmak 8 6 4 = 192
üzere; her (x; y; z) üçlüsü için; bu sayılardan en olur. Sonuç olarak, 9999’a tam bölünen, fakat 10’a
büyü˘ gü ile en küçü˘ günün toplamına bu üçlünün gücü bölünmeyen sayıların sayısı
diyoruz. Bu tür tüm (x; y; z) üçlülerinin güçlerinin
1728 192 = 1536
toplamı kaçtır? (UMO - 2007)
olarak bulunur.
Tüm basamaklarındaki rakamlar
birbirinden farklı olan ve 11111’e bölünen on
basamaklı kaç tamsayı vardır? (UMO - 2000)

Yanıt : 7290; ((5,5,5) üçlüsünün e¸si olmadı˘ gından, ayrıca
hesaplanmalıdır.) Yanıt : 3456: