Page 241 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
240 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
f1; 2; 3; :::; 15g kümesinin öyle bir X Üç elemanlı tüm altkümelerinin elemanları
altkümesi olsun ki; X’in elemanları toplamı aynı toplamı asal olan ve asal sayılardan olu¸san bir
olan iki alt kümesi olmasın. Bunu sa˘ glayan X kümenin; be¸s elemanlı kaç tane altkümesi vardır?
kümesinin elemanları toplamı en fazla kaç olabilir?
(AIME 1986) Kümemizi S ile gösterelim. S kümesinin
elemanları;
n = 3k + 1; n = 3k + 2 veya 3
En büyük 3 elemanı alalım.
olabilir. S kümesinin 3 elemanlı altkümelerinin
f15; 14; 13g elemanları toplamı asal ise, ikiden fazla;
alınırsa; 12 sayısını alamayız; 3k + 1 veya 3k + 2
15 + 12 = 14 + 13 formunda asal sayı olamaz. Çünkü; üç tane olursa; bu
üç sayının toplamı 3’e bölünür ve asal olamaz.
olur. 11 sayısını da alabiliriz. 10 ve 9 sayılarını da
O halde;
alamayız. Çünkü,
15 + 9 = 13 + 11 ve 14 + 10 = 13 + 11 3k + 1 ve 3k + 2
olur. 8 sayısını da seçebiliriz. Böylece; formundaki sayılardan en fazla iki¸ser tane alınabilir. Bu
sayılardan iki¸ser tane alınırsa; 3 asal sayısı alınamaz.
X = f15; 14; 13; 11; 8g
Çünkü;
bulunur.
(3k + 1) + (3k + 2) + 3
7 + 8 = 15 2 X; 6 + 8 = 14 2 X;
toplamı 3’e bölünür.
5 + 8 = 13 2 X; 4 + 11 = 15 2 X;
Sonuç olarak, 3 asal sayısı kümenin elemanı olmayacak
3 + 11 = 14 2 X; 2 + 11 = 13 2 X; ¸ sekildeki bir kümenin eleman sayısı en fazla 4 olabilir.
1 + 15 = 15 2 X Yani, 5 elemanlı altküme sayısı 0’dır.
oldu˘ gundan, geri kalan elemanları alamayız. O halde;
X = f15; 14; 13; 11; 8g
seçeriz ve elemanları toplamı da en fazla 61 elde edilir.

f1; 2; 3; :::; 10g kümesinin öyle bir A
altkümesi olsun ki; A’nın elemanları toplamı aynı olan Üç elemanlı tüm altkümelerinin
iki alt kümesi olmasın. Bunu sa˘ glayan A kümesinin elemanları toplamı asal olan ve asal sayılardan
elemanları toplamı en fazla kaç olabilir? olu¸san bir kümenin; dört elemanlı altkümelerinden
kaçında 3 asal sayısı bulunur?

3 2 S olursa;
3k + 1 ve 3k + 2
formundaki sayılardan iki formu birlikte alınamaz. En
fazla; bu formlardan herhangi birinden iki asal sayı
birden alınabilir. Sonuç olarak, 3 asal sayısı kümenin
elemanı ise; kümenin eleman sayısı en fazla 3 olabilir.
Yanıt : 33, A = f10; 9; 8; 6g
Bu durumda da, cevap 0 olur.