Page 240 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 239
f1; 2; 3; :::; 1001g kümesinin öyle n A = f1; 2; 3; 4; :::; 99; 100g kümesinin
herhangi iki elemanı arasındaki fark 5 veya 8
elemanlı bir altkümesi seçilecektir ki, bu altkümeden
olmayacak ¸sekilde seçilen altkümesinin eleman
seçilen herhangi iki elemanın farkı, toplamlarını
bölmesin. Buna göre, n sayısı en fazla kaçtır? sayısı en fazla kaç olur?
Kümeyi 13’erli olarak ayırıp; her 13
elemanlı parçada en fazla elemanlı altkümeyi
belirleyelim.
f1; 2; 3; 4; :::; 12; 13g
kümesini
Yanıt : 334.
f1; 6; 9g; f2; 7; 10g; f3; 8; 11g; f4; 12g; f5; 13g
¸ seklinde 5 kümeye ayıralım. Bu kümenin ilk ele-
manlarını alırsak sadece 5 eleman seçebiliriz. Fakat;
bazısından ilk elemanı almadan maksimum eleman
sayısı elde edebiliriz. Örne˘ gin; 1; 2; 4; 5; 8 ve 11
A = f1; 2; 3; 4; :::; 99; 100g kümesinin alınarak maksimum 6 eleman seçilebilir. Yine; 14 ile
herhangi iki elemanı arasındaki fark 7 olmayacak 26 arasında;
¸ sekilde seçilen altkümesinin eleman sayısı en fazla 13 + 1; 13 + 2; 13 + 4; 13 + 5; 13 + 8; 13 + 11
kaç olur? (UMO - 2007)
sayıları seçilebilir. Bu ¸sekilde seçilen
Kümeyi 7’¸serli gruplara ayıralım ve 13k + 1; 13k + 2; 13k + 4;
aralarındaki fark 7 olmaması için, birinci, üçüncü, 13k + 5; 13k + 8; 13k + 11
be¸sinci vs. gruplarını alalım. Buna göre,
sayıları arasında farkı 5 veya 8 olan herhangi iki
f1; 2; ::; 7g ; f15; 16; :::; 21g ; f29; 30; :::; 35g ; eleman yoktur.
f43; 44; :::; 49g f57; 58; :::; 63g ; f71; 72; :::; 77g ; Buna göre; f1; 2; 3; 4; :::; 99; 100g kümesinden
100 = 13 7 + 9 oldu˘ gundan;
f85; 86; :::; 91g ; f99; 100g
f 1; 2; 4; 5; 8; 11; 14; 15; ::::; 79; 80; 82; 83; 86; 89;
gruplarının birle¸siminde, arasındaki fark 7 olan
| {z } | {z }
herhangi bir eleman olmayacaktır. Bunun yanında, bu
92; 93; 95; 96; 99g
sayı kümesine herhangi bir elemanın ilave edilmesi,
¸ seklinde, en çok
arasındaki fark 7 olmama ko¸sulunu bozaca˘ gından, bu
birle¸sim kümesi istenen ¸sekildeki en büyük altkümedir 7 6 + 5 = 47
ve eleman sayısı da :
eleman seçilebilir.
7 7 + 2 = 51
’dir.

A = f1; 2; 3; 4; :::; 99; 100g kümesinin
herhangi iki elemanı arasındaki fark 3 veya 7
olmayacak ¸sekilde seçilen altkümesinin eleman sayısı
A = f1; 2; 3; 4; :::; 99; 100g kümesinin
en fazla kaç olur?
herhangi iki elemanı arasındaki fark 13 olmayacak
¸ sekilde seçilen altkümesinin eleman sayısı en fazla kaç
olur?

Yanıt : f10k + 1; 10k + 3; 10k + 5; 10k + 9; 10k + 7g,
Yanıt : 52. 10 5 = 50: