Page 242 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 241
f16; 17; 18; :::; ng kümesinin farklı 15 f1; 2; :::; 10g kümesinin bo¸s olmayan
elemanı a 1 ; a 2 ; :::; a 15 seçiliyor. Bu 15 elemanın; a k tüm altkümelerindeki elemanlar toplanarak kaç farklı
sayısı k sayısının bir katı olacak ¸sekilde olması için; toplam elde edilebilir?
n en küçük kaç olmalıdır?

k sayısı a k ’yı bölecek ¸sekilde, önce asal
çarpanı veya kendisi büyük olan sayıları seçelim.
a 13 = 26; a 11 = 22; a 7 = 21; a 5 = 25;
a 14 = 28; a 15 = 30; a 12 = 24; a 10 = 20
olur. ¸Simdi; Yanıt : 55.
a 9 = 27; a 6 = 18; a 8 = 16
seçersek; geriye a 1 ; a 4 ; a 3 ve a 2 kalır. Seçti˘ gimiz
en büyük sayı 30’dur. 30’a kadar olan sayılardan
seçmediklerimiz ise; 17; 19; 23 ve 29 sayılarıdır. Bu n Elemanlı Kümenin r Elemanlı Altküme Sayısı F
sayılardan herhangi birini a 1 olarak seçebiliriz. Fakat;
bu sayıların hiçbiri 2; 3 veya 4’e bölünmedi˘ ginden a 2 ; n elemanlı bir kümenin r elemanlı altkümelerinin
a 3 ve a 4 olarak seçemeyiz. O halde;
sayısı
a 4 = 32; a 3 = 33 ve a 2 = 34 n!
n
=
seçersek istenen ¸sekildeki en küçük n sayısını 34 r r! (n r)!
buluruz. kadardır. Bu sayı, n elemandan, r elemanın kaç farklı
¸ sekilde seçilebilece˘ gini ifade eder.

Örne˘ gin, A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g kümesinin 4 elemanlı
altkümelerinin sayısı

6 6!
= = 15
4 4!2!
olur. Yani, A kümesinden, 4 eleman 15 farklı ¸sekilde
seçilebilir.
Birbirinden farklı pozitif reel sayılardan
olu¸san fa 1 ; a 2 ; :::; a 100 g kümesinin bo¸s olmayan her
bir alt kümesinin elemanları toplanarak 2 100 1
tane toplam elde ediliyor. Buna göre; en az kaç
farklı toplam elde edilebilir. (SSCB M.O. 1963)

10
a 1 < a 2 < < a 100 kabul edebiliriz. Bu 3 de˘ gerini hesaplayınız.
durumda; toplamları eleman sayısına göre; artan sırada
yazalım.
1 elemanlılar için; 10 10! 10 9 8 7! 10 9 8
= = = = 120
a 1 < a 2 < < a 100 3 3!7! 3 2 1 7! 3 2 1
ise 100 farklı toplam vardır. bulunur.
2 elemanlılar için;
a 1 + a 100 < a 2 + a 100 < < a 99 + a 100
ise 99 farklı toplam vardır.
3 elemanlılar için;
a 1 +a 99 +a 100 < a 2 +a 99 +a 100 < < a 98 +a 99 +a 100
ise 98 farklı toplam vardır. Bu ¸sekilde devam edersek;
A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g kümesinin en az 3
100 elemanlı a 1 + a 2 + + a 100 ; yani; 1 farklı
elemanlı altkümelerinin sayısı kaçtır?
toplam elde edilir.
Böylece; farklı toplamların sayısı en az :
100 101
6
6
1 + 2 + 3 + + 100 = = 5050 + + + = 20 + 15 + 6 + 1 = 42
6
6
2 3 4 5 6
elde edilir. bulunur.