Page 239 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
238 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
A = f1; 2; 3; ::::; 11g kümesinin kaç A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g kümesinin tüm alt
kümelerindeki tüm elemanların toplamı kaçtır?
altkümesinin elemanları çarpımı çift sayıdır?
5
1 elemanını içeren altküme sayısı 2 ’tir.
Di˘ ger elemanları içeren altküme sayısı da aynı
5
olaca˘ gından her bir eleman 2 = 32 altkümede yer
alacaktır. O halde; tüm elemanların toplamı :
32 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 672
6
Yanıt : 2 11 2 = 1984. olur.

f1; 2; 3; :::; 100g kümesinin; eleman sayısı A = f1; 2; 3; :::; 100g kümesinin 10
tek sayı olan kaç alt kümesi vardır? elemanlı bir altkümesi B olsun. B kümesinin
elemanları toplamı kaç farklı sayı olabilir?

B kümesinin elemanları toplamı;
f1; 2; 3; :::; 100g kümesinin; eleman sayısı tek olan
minimum : 1 + 2 + + 10 = 55;
altkümelerinin sayısı; eleman sayısı çift olan altkü-
melerinin sayısına e¸sittir. Toplam; altküme sayısı 2 100 maksimum : 91 + 92 + + 100 = 955
olabilir.
oldu˘ gundan; eleman sayısı tek sayı olan
Yani; 10 elemanlı B kümesinin elemanları toplamı 955
2 100 99
= 2 ile 55 arasında de˘ gerler alabilir. Buna göre,
2
955 55 + 1 = 901
altküme vardır.
farklı toplam elde edilebilir.

f1; 2; . . . ; 2004g kümesinin tek sayıda
eleman içeren kaç altkümesi vardır? (U ˙ IMO - 2004)

f1; 2; 3; :::; 100g kümesinin öyle n elemanlı
bir altkümesi seçilecektir ki, bu altkümeden seçilen
herhangi iki elemanın farkı, toplamlarını bölmesin.
Buna göre, n sayısı en fazla kaçtır?
2003
Yanıt : 2 :
f1; 4; 7; 10; :::; 100g altkümesi verilen ko¸sulu sa˘ glar ve
bu kümenin
100 1
+ 1 = 34
3
elemanı vardır ve bu seçilebilecek maksimum sayıdır.
Not : n elemanlı bir kümenin, herhangi bir E˘ ger 34’den daha fazla olsaydı, sayıların içerisinde
elemanını içeren altkümeleri sayısı 2 n 1 tanedir.
f1; 2; 3g ; f4; 5; 6g ; :::; f97; 98; 99g ; f100g
Örne˘ gin, A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g kümesinin 6 elemanını
5
içeren altküme sayısı 2 = 32’dir. altkümelerinin birinin iki elemanı olacak ve ko¸sul
bozulacaktı. Dolayısıyla 34 maksimum sayıdır.