Page 238 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 237
˙
n 1998 1 sayısının 10’a tam bölünmesini Altkümelerle Ilgili Problemler
sa˘ glayan; 2000’den küçük kaç tane pozitif n
tamsayısı vardır? (UAMO- 1999)

F Altküme ve Altküme Sayısı F
n 1998 1 sayısının 10’a tam bölünmesi
için, n sayısının son basama˘ gı ya 1 ya da 9 olmalıdır. Bir Kümenin Altkümesi
n sayısının ilk basama˘ gı, n < 2000 oldu˘ gundan 0 E˘ ger; A kümesinin her elemanı B kümesinin de ele-
veya 1 olabilir. Ortadaki sayılar için bir kısıtlama manı ise; A kümesi B kümesinin altkümesidir denir ve
olmadı˘ gından 10 rakamı da yazabiliriz. Dolayısıyla, A B ile gösterilir. Her küme kendisinin bir altküme-
istenen ¸sekilde sidir. Bir kümenin kendisinden ba¸ska tüm altkümelerine
öz alt kümeleri denir.
2 10 10 2 = 400
sayı vardır. Bir Kümenin Altküme Sayısı
n
n
n elemanlı bir kümenin 2 tane altkümesi 2 1 tane
özalt kümesi vardır. Örne˘ gin, A = f1; 2; 3g kümesinin
Ondalık yazılımında yanyana aynı altkümeleri
10
rakamın olmadı˘ gı 10 ’dan küçük kaç pozitif ;; f1g ; f2g ; f3g ; f1; 2g ; f1; 3g ; f2; 3g ; f1; 2; 3g
tamsayı vardır? 3
olmak üzere 2 = 8 tanedir. Bunlardan yarısının ele-
man sayısı çift, yarısının ki ise tektir.
Basamak sayısına göre sayalım.
1 basamaklı 9 sayı vardır.
2 basamaklı 9 9 = 81 sayı vardır. (Onlar basama˘ gı
0 haricinde tüm rakamlar ve birler basama˘ gı da onlar
basama˘ gı haricindeki tüm rakamlar olabilir.)
3
3 basamaklı; 9 9 9 = 9 sayı vardır. (Yüzler
basama˘ gı 0 haricinde tüm rakamlar; onlar basama˘ gı
yüzler basama˘ gı haricindeki tüm rakamlar; birler basa-
ma˘ gı da onlar basama˘ gı haricindeki tüm rakamlar
olabilir.)
A = f1; 2; 3; ::::; 10g kümesinin kaç
Benzer ¸sekilde devam edilerek,
4
4 basamaklı, 9 ; altkümesinin elemanları çarpımı tek sayıdır?
5
5 basamaklı 9 ; (Örne˘ gin, f1; 3; 5g altkümesinin elemanları çarpımı
1 3 5 = 15 tektir.)
:::,
10 basamaklı 9 10 sayı oldu˘ gu görülür.
Altkümelerindeki elemanlar 1,3,5,7,9’dan
O halde; istenen ¸sekildeki tüm sayıların toplamı :
olu¸sabilir. Çift sayı olursa, çarpım çift olacaktır. Buna

2
3
2
9 + 9 + 9 + + 9 10 = 9 1 + 9 + 9 + + 9 9 göre, bu 5 eleman yardımıyla
9 10 1 2 = 2 2 2 2 2 = 32
5
= 9
9 1 altküme olu¸sturulabilir.
9 11 9
=
8
olarak bulunur.
Ondalık yazılımlarında hiçbir rakamın
yan yana tekrarlanmadı˘ gı ve 1 n 10 1997
ko¸sulunu sa˘ glayan kaç n tamsayısı vardır? (UMO -
1997)
A = f1; 2; 3; ::::; 10g kümesinin kaç
altkümesinin elemanları çarpımı çift sayıdır?
Tüm altkümelerin sayısından, bir önceki
örnekte hesapladı˘ gımız elemanları çarpımı tek olanların
sayısını çıkarırsak sonuca ula¸sırız. Buna göre,
9 1998 9 10 5
Yanıt : : 2 2 = 1024 32 = 992
8
bulunur.