Page 244 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 243
2 ve 3’ün bulunup, 0 ve 4’ün bulunmadı˘ gı 6 elemanlı bir küme hiçbiri bo¸s olmayan
rakamları birbirinden farklı 5 basamaklı kaç sayı 3 ayrık altkümeye kaç de˘ gi¸sik biçimde ayrılabilir?
vardır? (UMO - 1998)

6

Yanıt : 5! = 2400:
3
Yanıt : 90.

Be¸s elemanlı bir küme hiçbiri bo¸s olmayan
üç ayrık altkümeye kaç de˘ gi¸sik biçimde ayrılabilir?

Be¸s elemanlı kümenin üç altkümesinin
eleman sayıları
A = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g kümesinin hiçbiri
1; 1; 3 veya 1; 2; 2 di˘ gerinin alt kümesi olmayacak ¸sekilde en çok kaç
durumlarından biri olabilir. alt kümesi vardır?
1; 1; 3 elemanlı olmaları durumunda; 5 elemandan
5

3 eleman; de˘ gi¸sik ¸sekilde; geri kalan 2 eleman; A kümesinin 4 elemanlı altkümelerinin
3
birerli iki altkümeye tek ¸sekilde ayrılabilir. Yani; sayısı;

5 = 10 7 = 35
3 4
tane eleman sayıları 1; 1; 3 olan altkümelere ayrılabilir. bulunur. Bu sayı hiçbiri di˘ gerinin altkümesi olmayacak
1; 2; 2 elemanlı olmaları durumunda ise; 5 ele- ¸ sekilde en çok alt küme sayısını verir. Bu 35 kümenin;

5
mandan 1 elemanı de˘ gi¸sik ¸sekilde; geri kalan 4 daha az elemanlı altkümelerindeki tüm kümeleri
1
4
elemandan 2 eleman de˘ gi¸sik ¸sekilde seçilir. Son iki kapsayaca˘ gından; daha az elemanlı altkümelerini dahil
2
eleman da üçüncü altküme olur. O halde; edemeyiz. n > 4 için; n elemanlı altkümelerinin sayısı

5 4 da 35’den küçüktür.
1 2 = 30
tane; eleman sayıları 1; 2; 2 olan üç altkümeye
ayrılabilir.
Toplam; 30+10 = 40 farklı ¸sekilde üç ayrık altkümeye
ayrılabilir.
A = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g kümesinin
hiçbiri di˘ gerinin alt kümesi olmayacak ¸sekilde en çok
kaç alt kümesi vardır?
Yedi elemanlı bir küme hiçbiri bo¸s
olmayan dört ayrık altkümeye kaç de˘ gi¸sik biçimde
ayrılabilir?

Yanıt : 350. Yanıt : 126.