Page 24 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 23
Bir sınıftaki her ö˘ grenci gün boyunca 1, 2,
3 ya da 4 elma yemi¸stir. 2 elma yiyenlerin sayısı, 3 9
elma yiyenlerinkine e¸sit oldu˘ guna ve ö˘ grencilerin x 2y + z = 9 =
yedikleri toplam elma sayısı sınıftaki ö˘ grenci 2x y + z = 13 ;
sayısından 36 fazla oldu˘ guna göre, en az 3 elma 2x 2y z = 10
yemi¸s kaç ö˘ grenci vardır? (U ˙ IMO - 2003) denklem sistemini çözünüz.

1; 2; 3 ve 4 elma yiyen ö˘ grencilerin
sayısına sırasıyla x; y; y ve z diyelim. Buna göre,
ö˘ grencilerin yedikleri elma sayısı
(x + 2y + 3y + 4z)
olur. Bu sayı, ö˘ grenci sayısı olan (x + 2y + z)
ifadesinden 36 fazla ise,
x + 2y + 3y + 4z = x + 2y + z + 36
denkleminden, y + z = 12 olur. O halde, en az 3 elma
yiyen ö˘ grencilerin sayısı y + z = 12 olur.

Bir su tankerinin tam doluyken toplam
a˘ gırlı˘ gı x ton; yarı yarıya doluyken toplam a˘ gırlı˘ gı y
Yanıt : x = 5; y = 1; z = 2:
ton ise, bo¸s tankerin a˘ gırlı˘ gı kaç tondur? (U ˙ IMO - 2004)

Yanıt : 2y x.

9
3x 2y z = 5 = F Denklem ve Bilinmeyen Sayısına Göre Çözüm F
4x + 3y + z = 23 denklem sistemini
2x 2y z = 4 ; F Denklem sayısı, bilinmeyen sayısından fazla ise den-
çözünüz. klemin çözümü olmayabilir. Örne˘ gin,
8
< x + y = 3
Bu üç denklemin önce ilk ikisinden, x y = 1
sonrada son ikisinden z’yi yok ederek, x ve y’ye ba˘ glı : x + 2y = 5
iki denklem elde edebiliriz. Buna göre, ilk ikisi taraf
denklem sisteminde, ilk iki denkleme göre, x = 2 ve
tarafa toplanırsa : 7x + y = 28; ve son ikisi taraf
y = 1’dir. Fakat, bu de˘ gerler üçüncü denklemi sa˘ gla-
tarafa toplanırsa : 6x + y = 27 denklemleri elde edilir.
madı˘ gından kök olamazlar.
Böylece, verilen denklemden z bilinmeyenin olmadı˘ gı
iki bilinmeyenli
F Bilinmeyen sayısı, denklem sayısından fazla ise den-
7x + y = 28 klemin 1’den fazla çözümü olabilir. Çözüm sayısı, kök-
6x + y = 27 lerin tamsayı, do˘ gal sayı vs. olmasına göre de˘ gi¸sebilir.
denklem sistemi elde edilir. Bu denklemler de taraf Örne˘ gin, 2x + 5y = 12 denkleminin, pozitif tam-
tarafa çıkarılırsa, x = 1 ve buradan, sayılarda tek çözümü (x; y) = (1; 2)’dir. Tamsayılarda
y = 28 7 = 21 ise sonsuz çözümü vardır.
(1; 2) ; ( 4; 4) ; ( 9; 6) ; :::
bulunur. 3x 2y z = 5 e¸sitli˘ ginden de z’yi
bulabiliriz. gibi.
z = 3x 2y 5 = 3 42 5 = 44
olur. Sistemin çözümü (x; y; z) = (1; 21; 44) olur.