Page 25 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
24 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
˙
Iki do˘ gal sayıdan birincisinin 5 katı ile x; y; z do˘ gal sayılar olmak üzere,
ikincisinin 3 katının toplamı 30 oldu˘ guna göre bu 3x + 4y + 6z = 12
do˘ gal sayılar kaç farklı ¸sekilde seçilebilir?
ise a¸sa˘ gıdakilerden hangileri kesinlikle do˘ grudur.
Do˘ gal sayıları sırasıyla x ve y ile a) x sayısı kesinlikle 2’ye bölünür.
gösterelim. Buna göre, b) y sayısı kesinlikle 3’e bölünür.
5x + 3y = 30 c) z sayısı kesinlikle 2’ye bölünür.
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan (x; y) ikililerinin sayısını bulmalıyız.
E¸sitli˘ ge göre, 5x ve 30 sayıları 5’e bölündü˘ günden,
3y sayısı da 5’e bölünmelidir. Yani, y sayısı 5’in katı a) Do˘ gru. 3x + 4y + 6z =12 e¸sitli˘ ginde, 4y; 6z ve
olmalı. Buna göre, y’nin en fazla 10 olaca˘ gı açıktır. 12 ifadeleri 2’ye daima bölünür. O halde, e¸sitli˘ gin
Bu durumda x = 0 olur. Yani, (x; y) = (0; 10) e¸sitli˘ gi sa˘ glanabilmesi için geriye kalan 3x ifadesinin de 2’ye
sa˘ glar. bölünebilmesi gerekir. Bu ise, x, 2’ye bölünürse
y = 5 alınırsa, 5x + 15 = 30 ise x = 3 olur. sa˘ glanır.
(x; y) = (3; 5) e¸sitli˘ gi sa˘ glar. b) Do˘ gru. 3x; 6z ve 12 sayıları 3’e bölündü˘ günden
y = 0 alınırsa, x = 6 olur. (x; y) = (6; 0) e¸sitli˘ gi geriye kalan 4y sayısı da 3’e bölünmelidir. Buna göre,
sa˘ glar. y sayısı 3’e bölünmesi gerekir.
Sonuç olarak, 3 farklı ¸sekilde (x; y) do˘ gal sayısı c) Yanlı¸s. z çift olmak zorunda de˘ gildir. Örne˘ gin,
seçilebilir. z = 1, y = 0 ve x = 2 sa˘ glar.

23x + 30y = 253 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç
(x; y) do˘ gal sayı ikilisi vardır?
x; y; z do˘ gal sayılar olmak üzere,
253 = 23 11 oldu˘ gundan, 23x ve 253 3x + 4y + 6z = 12
sayıları 23’e bölünür. O halde, geriye kalan 30y
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan tüm (x; y; z) üçlülerini bulunuz.
sayısı da bölünmelidir. y sayısı 8’den büyük olamaz.
23’e bölünebilmesi için y = 0 alınması gerekir. Bu
Sa˘ g taraf 12 oldu˘ gundan, z sayısı 0,1 veya
durumda,
2 olabilir.
23x = 253 i) z = 0 alınırsa, 3x + 4y = 12 olur. Bu durumda,
ise x = 11 bulunur. Yani, e¸sitli˘ gi sa˘ glayan bir tek ikili x = 4 ve y = 0 veya x = 0 veya y = 3
vardır : (11; 0) :
alınabilir. Böylece, iki tane (x; y; z) üçlüsü elde etmi¸s
oluruz. (4; 0; 0) ve (0; 3; 0).
ii) z = 1 alınırsa, 3x + 4y = 6 olur. Bu durumda,
x = 2 ve y = 0
11x + 9y = 275 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan en alınabilir. Böylece,bir (x; y; z) üçlüsü elde ederiz :
küçük x do˘ gal sayısı kaçtır? (2; 0; 1).
iii) z = 2 alınırsa, 3x + 4y = 0 olur. Bu durumda,
x = 0 ve y = 0
alınabilir. Bir (x; y; z) üçlüsü daha bulduk. (0; 0; 2).
Sonuç olarak, yukarıdaki e¸sitli˘ gi sa˘ glayan üçlüler :
(4; 0; 0), (0; 3; 0) ; (2; 0; 1) ve (0; 0; 2)’dir.

Yanıt : 7: