Page 28 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 27

F Bilinmeyenlerin Alt Indisli Harflerle Gösterimi F Altı çocuktan olu¸san bir grupta, herkes,
˙
kendi dı¸sındaki be¸s ki¸sinin ya¸slarını topladı˘ gında,
¸ Simdiye kadar bilinmeyenleri genelde, x; y; z veya elde edilen farklı toplamlar f46; 45; 44; 43; 42g’dir.
a; b; c; d gibi harflerle gösterdik. Fakat, bazen bilin- Bu grupta aynı ya¸sta olan iki çocuk kaç ya¸sındadır?
meyenleri x; y; z yerine x 1 ; x 2 ; x 3 gibi harflerin sa˘ g
altına sayılar yazarak ifade edebiliriz. Bu gösterim, Bu altı çocu˘ gun ya¸sları a 1 ; a 2 ; :::; a 6 olsun.
bilinmeyen sayısının önemli oldu˘ gu veya bilinmeyen a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 = T 1
sayısının çok oldu˘ gu durumlarda kolaylık sa˘ glar. A¸sa˘ gı- a 1 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 = T 2
daki örnekleri inceleyiniz. a 1 + a 2 + a 4 + a 5 + a 6 = T 3
a 1 + a 2 + a 3 + a 5 + a 6 = T 4
a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 6 = T 5
a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = T 6
diyelim. Ya¸sları e¸sit olan iki çocuk da a 1 ve a 2 olsun.
Küçükten büyü˘ ge sıralanmı¸s, sekiz farklı Bu durumda, T 1 ve T 2 toplamları aynıdır. Yukarıdaki
pozitif tamsayıdan her biri bir öncekinin 2 katından altı e¸sitli˘ gi taraf tarafa toplarsak,
5 fazladır. Bu sayıların hepsinin toplamı 2000 ise en 5 (a 1 + a 2 + + a 6 ) = (T 1 + T 2 + + T 6 )
küçük sayı kaçtır?
= T 2 + (T 2 + T 3 + + T 6 )
Sayıları, x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ; x 5 ; x 6 ; x 7 ; x 8 ile olur. T 2 ; T 3 ; T 4 ; T 4 ; T 6 sayıları f46; 45; 44; 43; 42g
gösterelim. oldu˘ gundan,
x 1 = n ise, T 2 +T 3 +T 4 +T 5 +T 6 = 46+45+44+43+42 = 220
x 2 = 2n + 5;
x 3 = 2 (2n + 5) + 5 = 4n + 15; bulunur. Böylece,
x 4 = 2 (4n + 15) + 5 = 8n + 35; 5 (a 1 + a 2 + + a 6 ) = T 2 + 220
x 5 = 2 (8n + 35) + 5 = 16n + 75; elde edilir. Bu e¸sitli˘ gin sa˘ glanabilmesi için, T 2 sayısı
x 6 = 2 (16n + 75) + 5 = 32n + 155; 5’e bölünmelidir. O halde, T 2 = 45 olmalıdır. Bu
x 7 = 2 (32n + 155) + 5 = 64n + 315; durumda T 1 = T 2 = 45’tir. Yani, iki aynı toplam 45
x 8 = 2 (64n + 315) + 5 = 128n + 635; olur. Böylece,
elde edilir. Buna göre, bunların tamamını toplarsak,
5 (a 1 + a 2 + + a 6 ) = 45 + 220 = 265
x 1 + x 2 + + x 8 = 255n + 1235
265
olur. Hepsinin toplamı 2000 oldu˘ gundan, e¸sitli˘ ginden, a 1 + a 2 + + a 6 = = 53
5
bulunur. a 1 + a 3 + + a 6 = T 2 = 45 oldu˘ gundan,
255n = 2000 1235
a 2 = a 1 = 53 45 = 8 elde edilir.
denkleminden n = 3 elde edilir.

Dört sayının iki¸ser-iki¸ser toplanmasıyla
elde edilen altı sayı küçükten büyü˘ ge do˘ gru
dizilince, dizili¸sin ilk dört sayısı 1, 5, 8, 9 oluyor.
Son sayı nedir? (UAMO - 1996)
Yukarıdaki örne˘ ge göre, tüm çocukların
Sayılar x 1 x 2 x 3 x 4 olsun. Biz
ya¸slarını bulunuz.
(x 3 + x 4 )’ü bulmak istiyoruz. Bu toplamda en küçük
iki terim x 1 + x 2 ve x 1 + x 3 oldu˘ gundan,
x 1 + x 2 = 1; x 1 + x 3 = 5

oldu˘ gu açıktır. Buna göre iki durum olabilir.
x 1 + x 4 = 8; x 2 + x 3 = 9 veya
Yanıt : Çocukların ya¸sları 7,8,8,9,10,11.
= 9; x 2 + x 3 = 8:
x 1 + x 4
Söz konusu iki durumda da
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 17
olur. x 1 + x 2 = 1 oldu˘ gundan dolayı x 3 + x 4 = 16
olmalıdır.