Page 26 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 25
x; y; z do˘ gal sayılar olmak üzere, Bir okulun kantininde, 1., 2., 3., 4. ve 5.
sınıflarda okuyan toplam 30 ö˘ grenci elma yiyor.
2x + 5y + 10z = 20
Her ö˘ grencide en az bir tane olmak üzere, toplam
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan tüm (x; y; z) üçlülerini bulunuz. 40 elma vardır. Aynı sınıftaki ö˘ grencilerin aynı
sayıda, farklı sınıflardakilerin de farklı sayıda
elması varsa, kaç ö˘ grencinin tam olarak üç elması
vardır? (U ˙ IMO - 2005)

1’inci, 2’inci, 3’üncü, 4’üncü ve 5’inci
sınıflarda okuyan ö˘ grencilerin sayısı, sırasıyla a; b; c; d
ve e olsun. Verilenlerden,
a + b + c + d + e = 30;
a + 2b + 3c + 4d + 5e = 40
Yanıt : (0; 0; 2) ; (5; 0; 1) ; (0; 2; 1) ; (10; 0; 0) ; (5; 2; 0) ;
˙
(0; 4; 0) : olmalıdır. Ikinci denklemden birinci denklem
çıkarılırsa,
b + 2c + 3d + 4e = 10
olur. Bu denkleme göre, e = 1 seçilmelidir. Bu
durumda,

b + 2c + 3d = 6
denklemine göre, d = 1 ve c = 1 ve b = 1 seçilmesi
gerekir. Böylece, a = 26 bulunur. c = 1 oldu˘ gundan,
tam olarak 3 elma yiyen bir ki¸si vardır.

Alper, Tu˘ gra ve Berk’in bilyeleri vardır.
Alper’in bilyelerinin 3 katı, Tu˘ gra’nın bilyelerinin F 3 3 Sihirli Kareler F

2 katı ve Berk’in bilyelerinin 5 katının toplamı
Satırdaki, sütundaki ve kö¸segenlerdeki sayıların
61 oldu˘ guna göre, Tu˘ gra’nın en fazla kaç bilyesi
toplamı e¸sit olan 3 3 tipindeki sihirli kare sorularında
vardır?
merkezdeki terim daima e¸sit olan toplamın 1=3’üne
e¸sittir. Gerçekten,
Alper’in bilyelerinin sayısını A, Tu˘ gra’nın
bilyelerinin sayısını T ve Berk’in bilyelerinin sayısını a b c
da B ile gösterelim. Buna göre, d e f
3A + 2T + 5B = 61 g h j
tablosuna göre
oldu˘ guna göre, Tu˘ gra’nın en fazla bilyesi için
8
B’nin katsayısı en büyük oldu˘ gundan, B en küçük < a + e + j = A
alınmalıdır. B = 1 alalım. Bu durumda, c + e + g = A
: d + e + f = A
3A + 2T = 56
olmalıdır. Bu e¸sitlikleri taraf tarafa toplarsak,
olur. Bu e¸sitli˘ ge göre, 2T ve 56 çift oldu˘ gundan, 3A
sayısı da çift olmalıdır. En büyük T için, A’yı en küçük (a + d + g) + (c + f + j) + 3e = 3A
alalım. 3A çift olması için A en küçük 2 alınabilir. olur. 2A + 3e = 3A olaca˘ gından e = A=3 bulunur.
Böylece,
3 2 + 2T = 56
e¸sitli˘ ginden, 2T = 50 ve T = 25 bulunur.