Page 245 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
244 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
10 elemanlı bir kümenin; hiçbiri bir Rakamlarının artan sırada oldu˘ gu üç
basamaklı kaç sayı vardır?
di˘ gerinin altkümesi olmayacak ¸sekilde en çok kaç
altkümesi bulunur? (UMO - 1998)
Rakamları artan sırada olaca˘ gından; sayının
en solundaki rakam en küçük olmalıdır. En soldaki
rakam 0 olamayaca˘ gından rakamları 0’dan farklı
olacaktır. Buna göre, yanıt,
f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g
kümesinin 3 elemanlı altkümelerinin sayısı kadardır.
Çünkü, 3 elemanlı alt kümlerinin her birindeki
rakamlar, artan sırada yazılarak farklı bir sayı
olu¸sturulur ve bu istenen tüm sayıları verir. Buna göre,

10
Yanıt : = 252: yanıt
5
9 = 84

3
olur.
Rakamları sıfırdan farklı,
a) a < b < c olacak ¸sekilde kaç abc sayısı
olu¸sturulabilir.
f1; 2; 3; :::; 20g kümesinden, A’daki tüm
elemanlar, B’deki tüm elemanlardan büyük olacak b) a < b; a < c olacak ¸sekilde kaç abc sayısı
¸ sekilde, be¸ser elemanlı A ve B altkümeleri kaç farklı olu¸sturulabilir.
¸ sekilde seçilebilir?

20 elemandan 10 elemanı a) f1; 2; 3; :::; 9g kümesinin herhangi üç elemanlı
altkümelerinin sayısı kadardır. Yanıt :
20
10 = 84:
9
de˘ gi¸sik ¸sekilde seçebiliriz. Seçti˘ gimiz bu 10 elemanı 3
daima küçükten büyü˘ ge sıralayıp en küçük 5 tanesini b) f1; 2; 3; :::; 9g kümesinin herhangi üç elemanlı
A ve geri kalan 5 tanesini de B kümesi olarak tek türlü altkümesinden,
20

ayırabiliriz. Yanıt : : en küçü˘ güne a ve büyük olan ikisine de (b; c) veya
10
(c; b) denilerek,
iki tane abc ve acb sayısı olu¸sturulabilir. Bunların
sayısı da

9
2 = 168
3
dir. Di˘ ger yandan, b ve c birbirine e¸sit olabilir. Bu
durumda, f1; 2; 3; :::; 9g kümesinin iki elemanlı
S kümesinin her elemanı T kümesinin altkümelerinin sayısı kadar acc sayısı olu¸sturulacaktır.
her elemanından küçük olmak üzere; 1’den 100’e Bunların sayısı da,
kadar olan tamsayılardan 10’ar elemanlık S ve T = 36
9
2
kümeleri kaç de˘ gi¸sik ¸sekilde seçilebilir? (UMO - 1997)
oldu˘ gundan, toplam 168 + 36 = 204 sayı
olu¸sturulabilir.
2. yol : f1; 2; :::; 9g seçilirse; b ve c sayılarını 9 a
de˘ ger arasından seçebiliriz. Bunlar;

fa + 1; a + 2; :::; 9g
dur. O halde; a seçildikten sonra b ve c sayıları
2
(9 a) yolla seçilebilir. Böylece; (a; b; c) üçlülerinin
sayısı;
8 9 17
2
2
2
8 + 7 + + 1 = = 204
100
Yanıt : : 6
20
bulunur.