Page 247 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
246 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
A = f1; 2; 3; 4; :::; 17; 18g kümesinin 60 ardı¸sık do˘ gal sayı içinden; toplamları
üç elemanlı bütün altkümelerinin kaç tanesinin 3’e bölünebilen üç farklı sayı kaç farklı ¸sekilde
elemanları toplamı 3’e tam bölünür? seçilebilir? (UAMO - 2001)

A kümesinin elemanlarını 3’e
bölündü˘ günde 0; 1 veya 2 kalanını veren elemanlar
olarak
X = f1; 4; :::; 16g; Y = f2; 5; :::; 17g ve
Z = f3; 6; :::; 18g
¸ seklinde 3 altkümeye ayıralım. her bir altkümenin
eleman sayısı 6’dır. Alınan üç elemanlı altkümenin
elemanları toplamının 3’e bölünebilmesi iki durumda
20
mümkündür. Yanıt : 3 + 3 = 11420:
20
3 1
i) 3 eleman da aynı altkümeden alınmalıdır.
ii) Bu üç altkümenin her birinden 1 eleman
alınmalıdır.
Bu iki durum haricinde üç elemanlı altkümenin
elemanları toplamı 3’e bölünmez.

6
i) durumunda 3 = 60 tane ve ii) durumunda 6 6 6 =
3 A = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8g kümesinin
216 tane
elemanları çarpımı 4’ün katı olan üç elemanlı kaç
altküme vardır. O halde; 276 tane istenen ¸sekilde altkümesi vardır?
altküme vardır.
Üç elemanlı altkümenin elemanları çarpımı
4’ün katı olması için; kümenin en az iki tane çift sayı
veya 4’e bölünen bir sayı içermesi yeterlidir.
Buna göre; A kümesinin, elemanlarının
4

i) üçü de çift olan = 4 tane altkümesi vardır.
3
4
4

ii) ikisi çift biri tek olan; = 24 altkümesi
2 1
vardır.
A = f1; 2; 3; 4; :::; 29; 30g kümesinin üç
iii) biri 4 veya 8, di˘ ger iki eleman tek olan,
elemanlı bütün altkümelerinin kaç tanesinin elemanları
4
toplamı 3’e tam bölünür? 2 2 = 12
altküme vardır.
O halde; toplam;
4 + 24 + 12 = 40
altküme vardır.

Yanıt : 1360.

A = f1; 2; 3; 4; :::; 17; 18g kümesinin A = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8g kümesinin
dört elemanlı bütün altkümelerinin kaç tanesinin elemanları çarpımı 5’in katı olan üç elemanlı kaç
elemanları toplamı 3’e tam bölünür? altkümesi vardır?

7
Yanıt : 540 + 225 + 120 + 120 + 15 = 1020: Yanıt : 2 = 21: