Page 248 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 247
A = f1; 2; 3; :::; 10g kümesinin Pozitif tamsayılardan olu¸san ve
elemanları çarpımı 4’ün katı olan üç elemanlı kaç elemanlarının tamamı 101’den küçük olan bir
altkümesi vardır? kümenin, herhangi iki elemanının toplamı bu kümede
olmadı˘ gına göre bu kümenin eleman sayısı en çok kaç
olabilir?

Yanıt : 80.
Yanıt : 51. (f50; 51; 52; :::; 100g) :
A = f1; 2; 3; :::; 14; 15g kümesinin
elemanları çarpımı 5’in katı olan üç elemanlı kaç
altkümesi vardır? Elemanlarının hepsi 102’den küçük olan
ve herhangi iki elemanının toplamını içermeyen bir
pozitif tamsayı kümesinin en çok kaç elemanı olabilir?
(UMO - 2004)

3
12
12
3
3
Yanıt : + + = 235:
1 2 2 1 3
A = f1; 2; 3; :::; 14; 15g kümesinin
Yanıt : 51. (f51; 52; :::; 101g veya f1; 3; 5; :::; 101g) :
elemanları çarpımı çift olan üç elemanlı kaç altkümesi
vardır?

8
7
15

7
8
7
8
Yanıt : + + = 399 veya =
1 2 2 1 3 3 3
399:
A = f41; 42; 43; :::; 100g kümesinin iki
elemanlı altkümelerinden kaçının elemanları
Pozitif tamsayılardan olu¸san ve toplamı 100’den büyüktür.
elemanlarının tamamı 50’den küçük olan bir
kümenin, herhangi iki elemanının toplamı bu f50; 51; 52; :::; 100g kümesinin herhangi
kümede olmadı˘ gına göre bu kümenin eleman sayısı iki elemanlı tüm altkümelerin elemanları toplamı
51

en çok kaç olabilir? 100’den büyüktür. Bunların sayısı : 2 ’dir.
Di˘ ger taraftan, bu elemanları haricinde bir elemana
˙
f25; 26; :::; 49g kümesi ko¸sulumuzu sa˘ glar sahip altkümeler de vardır. Bunları sayalım. Istenen
ve 49 25 + 1 = 25 elemanlıdır. Bu kümeye ba¸ska ¸ sekildeki bir altkümenin elemanı en küçük 41 olabilir.
eleman ilave etmemiz mümkün de˘ gildir. Yani, iki elemanlı altkümelerden elemanlardan biri
41,42,...,49’da olabilir. Bunların sayısını hesaplayalım.
Ayrıca, tek sayılardan olu¸san, f1; 3; 5; :::; 49g
kümesidir ki, bu kümenin de eleman sayısı f41; xg ) x 2 f60; 61; :::; 100g iken, 41 tane,
f42; xg ) x 2 f59; 60::::; 100g iken 42 tane,
49 1
+ 1 = 25 f43; xg ) x 2 f58; 59::::; 100g iken 43 tane,
2

dir. Bu kümedeki herhangi iki elemanın toplamı çift
f49; xg ) x 2 f52; 53::::; 100g iken 49 tane,
sayı oldu˘ gundan bu kümede yer alamaz. Bu küme de
olaca˘ gından, istenen ¸sekildeki altkümelerin sayısı :
ko¸sulumuzu sa˘ glar. Bu kümeye de, hiç bir eleman ilave
51

edemeyiz. Her iki küme de ko¸sulu sa˘ glar ve yanıt 25 2 + (41 + 42 + + 49) = 1275 + 405 = 1680
bulunur. bulunur.