Page 252 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 251
f1; 2; 4; 5; 6; 8; 9; 10; 11g kümesinin f1; 2; 3; :::; 13g kümesinin farkları 5 olan
elemanları arasında iki ardı¸sık sayı bulunmayan 4 herhangi iki eleman içermeyen kaç alt kümesi
elemanlı altkümelerinin sayısı kaçtır? (UMO - 1995) vardır?

(Verilen kümede elemanlardan 3’ün ve Kümeyi,
7’nin olmadı˘ gına dikkat ediniz.)
A = f1; 6; 11g ; B = f2; 7; 12g ; C = f3; 8; 13g ;
Kümeyi; 3’den öncekiler, 3 ile 7 arasındakiler ve
7’den sonrakiler olmak üzere, D = f4; 9g ; E = f5; 10g
¸ seklinde 5 gruba ayıralım. A kümesinden istenen
A = f1; 2g ; B = f4; 5; 6g ve C = f8; 9; 10; 11g
¸ sekilde, seçilebilecek kümeler :
¸ seklinde üç parçaya ayıralım. Dört elemanlı altkü-
menin ardı¸sık iki elemanı olmaması için; üç durum ;; f1g ; f6g ; f11g ; f1; 11g
vardır. olmak üzere 5 kümedir. B ve C kümeleri de 3’er
i) A’dan 1 eleman, B’den 2 eleman (yani f4; 6g)ve elemanlıdır ve A’daki gibi ko¸sulumuzu sa˘ glayan 5’er
C’den 1 eleman alınırsa, küme olu¸sturulabilir. D kümesinden ise, ;; f4g ve f9g
2 1 4 = 8 olmak üzere 3 küme seçilebilir. Yine E kümesinden de
3 küme seçilebilecektir. A,B,C,D ve E kümelerinden
altküme olu¸sturulabilir.
ii) A’dan 1 eleman, B’den 1 eleman ve C’den 2 eleman seçilen bu kümelerin herhangi birle¸simleri de ko¸sulu
sa˘ glayacaktır. Buna göre, istenen ¸sekilde toplam
(yani f8; 10g ; f8; 11g ; f9; 11g ikili kümelerinden biri)
alınırsa 5 5 5 3 3 = 1125
2 3 3 = 18 altküme vardır.
altküme olu¸sturulabilir.
iii) B’den f4; 6g ve C’den f8; 10g ; f8; 11g ; f9; 11g
ikili kümelerinden biri) alınırsa,
1 3 = 3
altküme olu¸sturulabilir. Sonuç olarak, toplam
8 + 18 + 3 = 29 f1; 2; 3; :::; 17g kümesinin farkları 4 olan
tane; dört elemanlı altküme vardır. herhangi iki eleman içermeyen kaç alt kümesi
vardır? (U ˙ IMO-2012)

Kümeyi
A = f1,5,9,13,17g ; B = f2,6,10,14g ;
C = f3,7,11,15g ; D = f4,8,12,16g
¸ seklinde 4 gruba ayıralım. A kümesinde, istenen
¸ sekilde seçilebilecek altkümelerin sayısını bulalım.
Sıfır elemanlı : ;;
Bir elemanlı : f1g(f5g,f9g,f13g,f17g olmak
üzere, 5 küme,
˙ Iki elemanlı :

f1; 9g ; f1; 13g ; f1; 17g ; f5; 13g ; f5; 17g ; f9; 17g
olmak üzere, 6 küme,
Üç elemanlı : f1; 9; 17g olmak üzere sadece 1
küme seçilebilir.
f1; 2; 3; 5; 6; 8; 9; 10g kümesinin ardı¸sık
Yani, A kümesinden, 1 + 5 + 6 + 1 = 13 küme ko¸sulu
sayı içermeyen üç elemanlı kaç alt kümesi vardır?
sa˘ glar. Benzer dü¸sünceyi, B kümesi, için uygularsak,
sıfır elemanlı 1, bir elemanlı 4, iki elemanlı 3 olmak
üzere 8 küme seçilebilir. C ve D kümeleri de 4’er
elemanlı oldu˘ gundan, 8’er küme seçilebilir.
Dolayısıyla, bu kümelerin herhangi birle¸simleri de
ko¸sulu sa˘ glayaca˘ gından, istenen ¸sekilde
13 8 8 8 = 6656
Yanıt : 28:
altküme vardır.