Page 251 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
250 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
A = f1; 2; 3; 4; :::; n 1; ng kümesinin ¸ Simdi bir önceki örne˘ gi bu yöntemle çözelim.
ardı¸sık tamsayı içermeyen tüm altkümelerinin
f1; 2; 3; :::; 11g kümesinin iki ardı¸sık
sayısını hesaplayınız.
sayı içermeyen kaç altkümesi vardır? (U ˙ IMO-2003)

n elemanlı A kümesinin iki tane ardı¸sık tamsayı a 1 = 2; a 2 = 3 ve a n = a n 1 + a n 2
e¸sitli˘ gini kullanırsak,
içermeyen altkümelerinin sayısını a n ile gösterelim.
A kümesinin tüm altkümelerini son elemanının olup a 3 = 2 + 3 = 5; a 4 = 3 + 5 = 8;
olmamasına göre sınıflandırabiliriz. Bunlar, = 5 + 8 = 13; a 6 = 8 + 13 = 21;
a 5
i) n’in olup n 1’in olmadı˘ gı altkümeler :
a 7 = 13 + 21 = 34; a 8 = 21 + 34 = 55;
Bu durumdaki altkümelerden iki tane ardı¸sık tam sayı
içermeyenlerin sayısı a 9 = 34 + 55 = 89; a 10 = 55 + 89 = 144
ve son olarak
f1; 2; :::; n 2g
kümesinin iki tane ardı¸sık tamsayı içermeyen a 11 = 89 + 144 = 233
altkümelerinin sayısı kadardır. Yani a n 2 kadardır. elde edilir.
ii) n’nin olmadı˘ gı altkümeler :
Bu durumdaki, altkümelerden iki tane ardı¸sık tam sayı
içermeyenlerin sayısı

f1; 2; :::; n 1g
kümesinin iki tane ardı¸sık tamsayı içermeyen f1; 2; 3; :::; 14g kümesinin ardı¸sık sayı
altkümelerinin sayısı kadardır. Yani a n 1 kadardır. içermeyen kaç alt kümesi vardır?
Böylece, A’nın tüm altkümeleri bu iki sınıftan birinde
yer alaca˘ gından,
A = f1; 2; 3; :::; ng
kümesinin iki tane ardı¸sık tam sayı içermeyen
altkümelerinin sayısı,

a n = a n 1 + a n 2 Yanıt : 987:
olacaktır. Buna göre,
A = f1g kümesinin ardı¸sık tamsayı içermeyen
altkümeleri, ;; f1g’dir. a 1 = 2.
A = f1; 2g kümesinin ardı¸sık tamsayı içermeyen
altkümeleri ;; f1g ; f2g’dir. a 2 = 3:
f1; 2; 3; 4; 6; 7; 8g kümesinin ardı¸sık sayı
Böylece,
içermeyen 3 elemanlı kaç alt kümesi vardır?
a n = a n 1 + a n 2
(Verilen kümede elemanlardan 5’in
e¸sitli˘ gi ve a 1 = 2; a 2 = 3 kullanılarak istenilen
olmadı˘ gına dikkat ediniz. Bu nedenle bu soruda önceki
A = f1; 2; :::; ng kümesinin ardı¸sık tamsayı içermeyen
formülleri uygulayamayız.)
altkümelerinin sayısı bulunabilir. Burada elde edilen
Verilen kümeyi; 5’den öncekiler ve sonrakiler olmak
sayı dizisine Fibonacci dizisi denir.
üzere

˙
Ardı¸sık Sayı Içermeyen Altküme Sayısı Formülü A = f1; 2; 3; 4g ve B = f6; 7; 8g

¸ seklinde iki parçaya ayıralım. Üç elemanlı altkümenin
A = f1; 2; 3; :::; ng kümesinin ardı¸sık sayı içermeyen ardı¸sık iki elemanı olmaması için; iki durum vardır.
altkümelerinin sayısı a n ise, i) A’dan 1 eleman, B’den 2 eleman (yani f6; 8g
a n = a n 1 + a n 2 ; a 1 = 2; a 2 = 3 kümesi) alınırsa,
4 1 = 4
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır. Buna göre,
altküme olu¸sturulabilir.
a 3 = 5; a 4 = 8; a 5 = 13; ...
ii) A’dan 2 eleman (Yani, f1; 3g ; f1; 4g ; f2; 4g
biçiminde devam edilerek herhangi n sayısı için ardı¸sık kümelerinden biri) ve B’den 1 eleman alınırsa
sayı içeremeyn altküme sayısı bulunabilir.
3 3 = 9
altküme olu¸sturulabilir. Sonuç olarak, toplam
4 + 9 = 13 tane; üç elemanlı altküme vardır.