Page 254 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 253

˙
Üç Ardı¸sık Sayı Içermeyen Altküme Sayısı

A = f1; 2; 3; :::; ng
A = f1; 2; 3; :::; ng kümesinin üç tane ardı¸sık tam sayı
kümesinin üç tane ardı¸sık tam sayı içermeyen kaç içermeyen altkümelerinin sayısı a n ise, a 1 = 2; a 2 = 4
alt kümesi vardır? ve a 3 = 7 olmak üzere
a n = a n 1 + a n 2 + a n 3
n elemanlı A kümesinin üç tane ardı¸sık
tamsayı içermeyen altkümelerinin sayısını a n ile ile bulunur.
gösterelim. A kümesinin tüm altkümelerini son üç
elemanının olup olmamasına göre sınıflandırabiliriz.
Bunlar,
i) n ve n 1’in olup n 2’nin olmadı˘ gı altkümeler.
Bu durumdaki altkümelerden üç tane ardı¸sık tam sayı
içermeyenlerin sayısı
f1; 2; :::; n 3g
kümesinin üç tane ardı¸sık tamsayı içermeyen
altkümelerinin sayısı kadardır. Yani a n 3 kadardır.
ii) n’nin olup, n 1’in olmadı˘ gı altkümeler. Bu
durumdaki, altkümelerden üç tane ardı¸sık tam sayı
içermeyenlerin sayısı A = f1; 2; 3; :::; 8g kümesinin üç tane
f1; 2; :::; n 2g ardı¸sık tam sayı içermeyen kaç alt kümesi vardır?
kümesinin üç tane ardı¸sık tamsayı içermeyen
a 1 = 2; a 2 = 4; a 3 = 7 ve
altkümelerinin sayısı kadardır. Yani a n 2 kadardır.
iii) n’nin olmadı˘ gı altkümeler. Bu durumdaki, a n = a n 1 + a n 2 + a n 3
altkümelerden üç tane ardı¸sık tam sayı içermeyenlerin oldu˘ gundan,
sayısı a 4 = 2 + 4 + 7 = 13;
a 5 = 4 + 7 + 13 = 24;
f1; 2; :::; n 1g
a 6 = 7 + 13 + 24 = 44;
kümesinin üç tane ardı¸sık tamsayı içermeyen a 7 = 13 + 24 + 44 = 81;
altkümelerinin sayısı kadardır. Yani a n 1 kadardır. a 8 = 24 + 44 + 81 = 149
Böylece, A’nın tüm altkümeleri bu üç sınıftan birinde bulunur. Yanıt : 149’dur.
yer alaca˘ gından,

A = f1; 2; 3; :::; ng
kümesinin üç tane ardı¸sık tam sayı içermeyen
altkümelerinin sayısı,
a n = a n 1 + a n 2 + a n 3
olacaktır.
En küçük üç n de˘ geri için hesaplayarak, tüm n
de˘ gerleri için sonuca ula¸sabiliriz.
n = 1 yani, A = f1g ise, a 1 = 2’dir. ;; f1g ;
n = 2 yani, A = f1; 2g ise, a 2 = 4’tür. A = f1; 2; 3; :::; 10g kümesinin üç tane
;; f1g ; f2g ; f1; 2g ;
ardı¸sık tam sayı içermeyen kaç alt kümesi vardır?
n = 3 yani, A = f1; 2; 3g ise, a 3 = 7’dir.
f1; 2; 3g hariç tüm altkümeler.
Böylece,
a 4 = a 3 + a 2 + a 2 = 7 + 4 + 2 = 13;
a 5 = a 4 + a 3 + a 2 = 13 + 7 + 4 = 24;
¸ seklinde devam edilerek tüm n de˘ gerleri için
A = f1; 2; 3; :::; ng kümesinin üç tane ardı¸sık tam sayı
içermeyen tüm altkümeleri bulunabilir.

Yanıt : 504.