Page 255 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
254 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir

A = f1; 2; 3; :::; ng kümesinin dört tane ˙
Dört Ardı¸sık Sayı Içermeyen Altküme Sayısı
ardı¸sık tam sayı içermeyen kaç alt kümesi vardır?
A = f1; 2; 3; :::; ng kümesinin dört tane ardı¸sık tam
n elemanlı A kümesinin dört tane ardı¸sık sayı içermeyen altkümelerinin sayısı a n ise,
tamsayı içermeyen altkümelerinin sayısını a n ile
a n = a n 1 + a n 2 + a n 3 + a n 4
gösterelim. A kümesinin tüm altkümelerini son dört
elemanının olup olmamasına göre sınıflandırabiliriz. ile bulunur, öyle ki,
Bunlar, a 1 = 2; a 2 = 4, a 3 = 7 ve a 4 = 15
i) n; n 1 ve n 2’in olup n 3’nin olmadı˘ gı altkümeler. dir.
Bu durumdaki, altkümelerden dört tane ardı¸sık tam
sayı içermeyenlerin sayısı f1; 2; :::; n 4g’ün dört
tane ardı¸sık tamsayı içermeyen altkümelerinin sayısı
kadardır. Yani a n 4 kadardır.
ii) n ve n 1’nin olup, n 2’in olmadı˘ gı altkümeler.
Bu durumdaki, altkümelerden dört tane ardı¸sık tam
sayı içermeyenlerin sayısı f1; 2; :::; n 3g’ün dört
tane ardı¸sık tamsayı içermeyen altkümelerinin sayısı
kadardır. Yani a n 3 kadardır.
iii) n’nin olup, n 1’in olmadı˘ gı altkümeler. Bu {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10g kümesinin dört
durumdaki, altkümelerden dört tane ardı¸sık tam tane ardı¸sık tamsayı içermeyen kaç alt kümesi
sayı içermeyenlerin sayısı f1; 2; :::; n 2g’nin dört vardır? (UMO-2012)
tane ardı¸sık tamsayı içermeyen altkümelerinin sayısı
kadardır. Yani a n 2 kadardır. Yukarıdaki sonuca göre bize a 8 gerekli.
iv) n’nin olmadı˘ gı altkümeler. Bu durumdaki, a 1 = 2; a 2 = 4; a 3 = 8; a 4 = 15;
altkümelerden dört tane ardı¸sık tam sayı içermeyenlerin a 5 = 2 + 4 + 8 + 15 = 29;
sayısı f1; 2; :::; n 1g’nin dört tane ardı¸sık tamsayı a 6 = 29 + 15 + 8 + 4 = 56;
içermeyen altkümelerinin sayısı kadardır. Yani a n 1 a 7 = 56 + 29 + 15 + 8 = 108;
kadardır. a 8 = 108 + 56 + 29 + 15 = 208;
Böylece, A’nın tüm altkümeleri bu dört sınıftan birinde a 9 = 208 + 108 + 56 + 29 = 401;
yer alaca˘ gından, A = f1; 2; 3; :::; ng kümesinin dört a 10 = 401 + 208 + 108 + 56 = 773
tane ardı¸sık tam sayı içermeyen altkümelerinin sayısı, bulunur. Yanıt : 773’tür.
a n = a n 1 + a n 2 + a n 3 + a n 4
olacaktır. En küçük dört n de˘ geri için hesaplayarak,
tüm n de˘ gerleri için sonuca ula¸sabiliriz.
n = 1 yani, A = f1g ise, a 1 = 2’dir. ;; f1g ;
n = 2 yani, A = f1; 2g ise, a 2 = 4’tür.
;; f1g ; f2g ; f1; 2g ;
n = 3 yani, A = f1; 2; 3g ise, a 3 = 8’dir. f1; 2; . . . ; 127g kümesi; her birinin
içindeki elemanların toplamı aynı olan n ayrık
;; f1g ; ::: ; f1; 2; 3g ;
altkümenin bile¸simi olarak yazılabiliyorsa; n sayısı
n = 4 yani, A = f1; 2; 3; 4g ise, a 4 = 15’dir. 5,7,10 ve 27 sayılarından kaçı olabilir? (U ˙ IMO -
f1; 2; 3; 4g haricindeki tüm altkümeler. 2001)
Böylece,
a 5 = a 4 + a 3 + a 2 + a 1 = 15 + 8 + 4 + 2 = 29; Bu kümenin tüm elemanlarının toplamı :

= a 5 + a 4 + a 3 + a 2 = 29 + 15 + 8 + 4 = 56; 127 + 1 127 1
a 6
+ 1 = 127 64
¸ seklinde devam edilerek tüm n de˘ gerleri için 2 1
oldu˘ gundan, birle¸simlerinin toplamı 127 64 olmalıdır.
A = f1; 2; 3; :::; ng
Bu kümenin; her birinin içindeki elemanların toplamı
kümesinin dört tane ardı¸sık tam sayı içermeyen tüm
aynı olan n tane ayrık kümenin bile¸simi olabilmesi
altkümeleri bulunabilir.
için; n sayısının 127 64 sayısını bölmesi gerekir.
Fakat, verilen sayılardan hiçbiri bu çarpımı tam olarak
bölmez. O halde, hiçbiri olamaz.