Page 256 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 255
Denklem Çözümü Bir çiftlikteki tav¸sanların sayısı Mart
ayında bir tamkaredir. Tav¸sanların sayısı Nisan
Sayının tamsayı veya pozitif tamsayı olmasının, tek
ayında 100 adet artarak bir tamkarden bir fazla
veya çift olmasının, asal olmasının, ardı¸sık sayılar
hale gelir. Mayıs ayında, tav¸san sayısı yine 100
olmasının a¸sa˘ gıdaki denklemlerde nasıl kullanıldı˘ gını
adetlik bir artı¸stan sonra yeniden tamkare olur.
inceleyiniz. Bu örneklerdeki yorumların, sadece
Tav¸sanların Mart ayındaki sayısı nedir? (UMO -
verilen sayı kümeleri ve bu kümelerin altkümeleri için
1994)
geçerli oldu˘ gunu ve ba¸ska bir sayı kümesinde benzer
yorumların yapılamayaca˘ gını görünüz.
Tav¸sanların,
2
Mart ayındaki sayıları x ise,
2
2
Nisan ayındaki sayıları x + 100 = y + 1,
2
2
Mayıs ayındaki sayıları x + 200 = y + 101 = z 2
(a + 1) (b + 1) = 13 denklemini sa˘ glayan olacaktır. Buna göre bu e¸sitliklerden,
kaç (a; b) tamsayı ikilisi vardır? 2 2 2 2
y x = 99 ve z y = 101
elde edilir. 101 asal oldu˘ gundan,
13 sayısı tamsayıların çarpımı olarak
(z y) (z + y) = 101
1 13 = 13 1 = ( 1) ( 13) = ( 13) ( 1)
e¸sitli˘ ginde,
¸ seklinde yazılabilir. Buna göre,
z + y = 101 ve z y = 1

a + 1 = 1 a + 1 = 13
b + 1 = 13 ; b + 1 = 1 ; olmalıdır. Buradan, z = 51 ve y = 50 elde edilir.
Böylece,

a + 1 = 1 a + 1 = 13 2 2 2
b + 1 = 13 ; b + 1 = 1 x = y 99 = 50 99 = 2401
2
e¸sitli˘ ginden x = 49 bulunur. Yanıt : 49 :
durumları olabilir. Bu durumlar için de, sırasıyla
(0; 12) ; (12; 0) ; ( 2; 14) ; ( 14; 2)
ikilileri elde edilir.
(a 3) (b 1) = 101 denklemini 2x + y + xy = 9
sa˘ glayan kaç (a; b) pozitif tamsayı ikilisi vardır?
denklemini sa˘ glayan kaç (x; y) tamsayı ikilisi
vardır?

E¸sitli˘ gin sol tarafını çarpanlara ayırmaya
çalı¸salım. y olan iki terim var. y parantezine alırsak,
y (x + 1) + 2x = 9
olur. Sol tarafta ortak çarpan parantezine alma i¸slemine
devam edebilmek için, e¸sitli˘ gin her iki tarafına 2
ekleyelim. Bu durumda,
Yanıt : 2.
y (x + 1) + 2 (x + 1) = 11
e¸sitli˘ ginden,
(a 3) (b 1) = 12 denklemini
sa˘ glayan kaç (a; b) pozitif tamsayı ikilisi vardır? (x + 1) (y + 2) = 11
bulunur. x; y tamsayı oldu˘ gundan,

x + 1 = 1 x + 1 = 1
y + 2 = 11 ; y + 2 = 11 ;

x + 1 = 11 ; x + 1 = 11
y + 2 = 1 y + 2 = 1
durumları olabilir. Bunlardan da, sırasıyla
(0; 9) ; ( 2; 13) ; (10; 1) ve ( 12; 3)
Yanıt : 6.
(x; y) ikilileri elde edilir.