Page 257 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
256 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
xy 3y 2x = 11 denklemini sa˘ glayan 4xy 6y 2x = 9 denklemini sa˘ glayan
(x; y) pozitif tamsayı ikililerini bulunuz. kaç (x; y) pozitif tamsayı ikilisi vardır?

Yanıt : (20; 3) ; (4; 19) :

xy + 3x 5y = 17 denklemini sa˘ glayan Yanıt : 0.
kaç (x; y) tamsayı ikilisi vardır? (UAMO - 1997)
ab 3a 2b = 5 denklemini sa˘ glayan
kaç (a; b) pozitif tamsayı çifti vardır?

Yanıt : (x 5) (y + 3) = 2 ¸seklinde yazılırsa, 4 (x; y)
ikilisi elde edilir.

Yanıt : 2.

(a + 2) (2b + 1) = 6 denklemini sa˘ glayan
kaç (a;b) do˘ gal sayı ikilisi vardır?

Sol taraftaki çarpanlardan biri tek sayıdır.
Dolayısıyla,

a + 2 = 2 a + 2 = 6
2b + 1 = 3 veya 2b + 1 = 1 a ve b pozitif tamsayıları için,
durumlarından biri olabilir. Bu iki durum için de, (a + 2b) (a + 4b) = 24
sırasıyla
olacak ¸sekilde kaç (a; b) ikilisi vardır?
a = 0; b = 1 ve a = 4, b = 0
elde edilir. (a + 2b) (a + 4b) ifadesinin çarpanlarının
her ikisi de çift veya her ikisi de tektir. Buna göre,
24 = 4 6 = 3 8 = 2 12 = 1 24
oldu˘ gundan, a + 4b > a + 2b oldu˘ gu da göz önüne
alınırsa,

a + 4b = 6 a + 4b = 12
2xy 3y 4x = 6 denklemini sa˘ glayan a + 2b = 4 veya a + 2b = 2
(x; y) pozitif tamsayı ikililerini bulunuz.
denklem sistemleri elde edilir. Fakat, ikinci denklem
sistemini de do˘ grudan eleyebiliriz. Çünkü, a ve b
pozitif tamsayılar oldu˘ gundan,
a + 2b = 2
olması mümkün de˘ gildir. Buna göre, ilk denklem
sisteminden, b = 1 ve a = 2 elde edilir. O halde
Yanıt : (3; 6) ; (2; 14) : bu denklemi sa˘ glayan tek pozitif tamsayı ikilisi
(a; b) = (2; 1) olur.