Page 258 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 257
x pozitif tamsayı olmak üzere, 5 (x + y) = xy e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç
(2x y) (4x y) = 60 denklemini sa˘ glayan (x; y) (x; y) sıralı tamsayı ikilisi vardır? (U ˙ IMO - 2002)
tamsayı ikililerini bulunuz.

Yanıt : 6.

Yanıt : (14; 26) ; (2; 2) :

1 1 1 2x + 5y = xy 1
= denkleminin pozitif
x y 3 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç (x; y) tamsayı ikilisi vardır?
tamsayılarda kaç çözümü vardır? (UMO - 2004)
Denklemin paydasını e¸sitleyelim. 2x+5y = xy 1 denkleminden y çekilirse,
3y 3x xy 2x + 1 2x 10 + 11 11
= y = = = 2 +
3xy 3xy 3xy x 5 x 5 x 5
ise olur. y’nin tamsayı olması için,
3y 3x = xy x 5 = 1 veya x 5 = 11
e¸sitli˘ ginden, 3y = x (y + 3) ve buradan da olabilir. Buradan 4 tane (x; y) çifti elde edilir.
3y 3y + 9 9 9 2. Çözüm :
x = = = 3
y + 3 y + 3 y + 3 (x 5) (y 2) = 11
elde edilir. O halde; y + 3 = 9 ve y = 6 olabilir ki bu ¸ seklinde yazılarak, çözüme ula¸sılabilir.
durumda x = 2 elde edilir. Yani denklemin sadece 1
çözümü vardır ve bu çözüm (2; 6)’dır.

1 1 1 1 1 1
+ = denkleminin pozitif tamsayı + =
x y 5 xy x y
çözümlerini bulunuz.
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç (x; y) asal sıralı ikilisi vardır?
(U ˙ IMO - 2002)

Paydalar e¸sitlenirse,
1 + y = x

elde edilir. x ve y asal ve ardı¸sık iki asal sayı sadece 2
Yanıt : (10; 10) ; (6; 30) ; (30; 6) : ve 3 oldu˘ gundan, x = 3 ve y = 2 olmalıdır. O halde,
(3; 2) ikilisi, denklemi sa˘ glayan biricik asal ikilidir.