Page 259 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
258 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
2
2
2n + 5nm 12m = 28 e¸sitli˘ gini
2
2y + x + 25 = xy sa˘ glayan kaç (m; n) pozitif tamsayı ikilisi vardır?
(UMO - 2006)
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç tane (x; y) tamsayı ikilisi
vardır?
2
2y + x + 25 = xy e¸sitli˘ ginde x yalnız
bırakılır ve ifade düzenlenirse,

2
2
2y + 25 2 y 1 + 27
x = =
y 1 y 1
27
= 2 (y + 1) +
y 1
3
olur. O halde; y 1 sayısının 27 = 3 ’ün bir böleni
3
olması gerekir. 27 = 3 sayısının
Yanıt : 1, f(5; 8)g :
(3 + 1) = 4
tane pozitif 2 4 = 8 tane tamsayı böleni vardır. 2 2
2n 36 = m mn denklemini
Bu y de˘ gerlerinin her biri için bir x tamsayı de˘ geri
bulunabilir. Sonuç olarak, 8 tane (x; y) ikilisi vardır. sa˘ glayan kaç (m; n) pozitif tamsayı ikilisi vardır?
(UMO - 1997)
2
xy = 4 y + x e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç
tane (x; y) tamsayı ikilisi vardır? (UMO - 1999)

Yanıt : 14.
Yanıt : 2, f(4; 2) ; (5; 7)g :

n sayısının 17, 19, 29, 31 ve 37
2
2
6n m mn = 50 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan 2 2
de˘ gerlerinden hangisi için a + ab 6b = n e¸sitli˘ gini
kaç (m; n) pozitif tamsayı ikilisi vardır?
sa˘ glayan a; b tamsayıları bulunur? (UMO - 2004)
2
2
6n mn m = (2n m) (3n + m) = 50
e¸sitli˘ ginde,
2n m = a ve 3n + m = b
diyelim. Taraf tarafa toplarsak,
a + b
5n = a + b veya n =
5
elde edilir. Yani, 50’nin öyle iki çarpanı olmalı ki,
toplamları 5’e bölünebilmeli. Bu durum sadece 5 ve 10
2
2
iken sa˘ glanır. Yanıt : 31. (a + ab 6b = (a 2b) (a + 3b) = n
3n + m > 2n m sayısının asal olması için çarpanlardan biri 1 olmalıdır. Bu
durum kullanılarak çözülebilir)
oldu˘ gundan,
3n + m = 10 ve 2n m = 5
olması gerekir. Buradan, m = 1 ve n = 3 bulunur. O
halde, denklemin tek çözümü vardır : (1; 3) :