Page 260 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 259
m
3
3 1 = n denklemini sa˘ glayan kaç tane
(m; n) pozitif tamsayı sıralı ikilisi vardır? (U ˙ IMO -
x + y + z = 19
2000)
xy + z = 98
denklem sistemini sa˘ glayan kaç (x; y; z) sıralı
tamsayı üçlüsü vardır? (UMO - 1998) m 2
3 = (n + 1) n n + 1
e¸sitli˘ gine göre; a; b 1 tamsayıları için;
2
a
˙ Iki denklemi birbirinden çıkararak z’yi yok edelim. Bu n + 1 = 3 ve n n + 1 = 3 b
durumda;
olmalıdır. (a ve b’den biri 0 olursa denklemlerin
xy x y = 79 sa˘ glanmayaca˘ gı açıktır.) Buradan;
a
n = 3 1
olur. Bu denklemden de
4
(x 1) (y 1) = 80 = 2 5 ikinci denklemde yazılırsa; sırasıyla, b
2
a
a
4
elde edilir. 80 = 2 5 oldu˘ gundan; pozitif bölenlerinin (3 1) (3 1) + 1 = 3 ;
a
b
sayısı 3 2a 3 3 + 3 = 3 ;
a
(4 + 1) (1 + 1) = 10 3 2a 1 3 + 1 = 3 b 1
ve tamsayı bölenlerinin sayısı da 20’dir. elde edilir. Son e¸sitli˘ ge göre; tüm ifadelerin 3’ün 1’den
büyük bir kuvveti olması mümkün de˘ gildir. a > 1
(x 1)
oldu˘ gundan dolayı; 1’in yok edilebilmesi için;
ifadesi 20 de˘ ger aldı˘ gında; her x de˘ geri için; bir y b 1 = 0
de˘ geri ve sistemdeki ilk denklemden de bir z tamsayı
de˘ geri elde edilecektir. O halde; denklemi sa˘ glayan 20 olmalıdır. b 1 = 0 ise,
a
tane (x; y; z) tamsayı üçlüsü vardır. 3 2a 1 3 = 0
olur. Bu durumda,
2a 1 = a
e¸sitli˘ ginden, a = 1 olaca˘ gından, n = 2 ve m = 2 olur.

p p
xy 71 x + 30 = 0 denkleminin (2a + b) (2b + a) = 2 e¸sitli˘ gini
c
pozitif tamsayılarda kaç tane (x; y) çözüm ikilisi sa˘ glayan kaç (a; b; c) pozitif tamsayı sıralı üçlüsü
vardır? (UMO - 2000) vardır? (UMO - 2001)

p p
Yanıt : 8. ( x(71 y) = 30 = 2 3 5 ) Yanıt : 0.