Page 261 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
260 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
1 11
11a = b ve a+b < 121 ko¸sulunu x; y; z reel sayılar olmak üzere,
a b
sa˘ glayan kaç (a; b) pozitif tamsayı ikilisi vardır? 8
< 2x + 5y + z = 13
(U ˙ IMO - 2009)
x + 3y + z = 14
:
3x + 2y + 4z = 9
denklem sistemi veriliyor. x + y + z de˘ geri kaçtır?
1 11
11a = b
a b
e¸sitli˘ gini,

1 1
11 a + = b +
b a
¸ seklinde yazalım. Bu e¸sitlikte, parantez içlerinde
Yanıt : 2. ((1) (2) + (3) = 4 (x + y + z) = 8) :
paydalar e¸sitlenip sadele¸stirmeler yapılırsa b = 11a
elde edilir. Buna göre,
a + b < 121
oldu˘ gundan,
x; y; z reel sayılar olmak üzere,
(a; b) 2 f (1; 11) ; (2; 22) ; (3; 33) ; ::: 8
< (x 1) (y 1) = 96
; (9; 99) ; (10; 110) g
(x 1) (z 1) = 56
olabilir ki, bunların sayısı da 10’dur. : (z 1) (y 1) = 84
denklem sistemi veriliyor. y de˘ geri kaçtır?

Verilen üç denklemi taraf tarafa çarpalım.
2 2 2
(x 1) (y 1) (z 1) = 96 56 84
3
2
5
= 2 3 2 7 2 3 7
2 2 2
5
= 2 3 7
oldu˘ gundan,
5
(x 1) (y 1) (z 1) = 2 3 7 = 672
bulunur. y de˘ gerini bulmak istiyoruz. Bunun için ikinci
denklemi, buldu˘ gumuz bu e¸sitlikte yerine yazarsak,
x; y; z reel sayılar olmak üzere,
56 (y 1) = 672
8
< 2x + y + z = 13 ise
x + 3y + z = 14 672
3x + 2y + 4z = 9 y 1 = = 12
:
56
denklem sistemi veriliyor. z de˘ geri kaçtır?
ve y = 13 elde edilir.
Üç denklemi taraf tarafa toplarsak,
6x + 6y + 6z = 36
ise a; b ve c pozitif reel sayılar olmak üzere,
8
x + y + z = 6 < ab a = b + 119
bc b = c + 59
bulunur. Bu denklemi birinci denklemden çıkarırsak,
ca c = a + 71
:
x = 7;
oldu˘ guna göre, c nedir?
ikinci denklemden çıkarırsak
Yanıt : Her bir denklem düzenlenirse,
2y = 8 8
< (a 1) (b 1) = 120
ve y = 4 elde edilir. Buna göre, (b 1) (c 1) = 60
:
(c 1) (a 1) = 72
7 + 4 + z = 6
elde edilir ve c = 7 olur.
ise z = 5 olur.