Page 262 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 261
2 2 2
3x 2y 4z + 54 = 0 sistemini
2
2
2
5x 3y 7z + 74 = 0

x + y = 2 sa˘ glayan kaç (x; y; z) pozitif tamsayı sıralı üçlüsü
2
xy z = 1 vardır? (UMO - 2000)
denklem sistemini sa˘ glayan kaç (x; y; z) reel sayısı
vardır?
Birinci denklemden elde edilen y = 2 x
e¸sitli˘ gi, ikinci denklemde yazılırsa,
2
1 + z = x (2 x)
2
Yanıt : 2. (x yok edilip, denklem (y z) (y + z) = 48
2
2
olur. Buradan, z = (x 1) yani, ¸ seklinde yazılabilir.)
2
2
z + (x 1) = 0
˙
elde edilir. Iki tamkarenin toplamı 0 ise, tamkareler de
0 olmalıdır. Buradan, x = y = 1 ve z = 0 bulunur.
2
y 3 = x
2
x + y = 7x denklem sistemini
sa˘ glayan kaç (x; y) reel sayısı vardır?

Yanıt : 2. [x = 3; y = 12] ; [x = 1=2; y = 13=4] : x ve y sayıları,
1 2 8 2 2
+ = ve x + 2y = 4
x y 2x + y
Kaç n tamsayısı için; e¸sitliklerini sa˘ glıyorsa, a¸sa˘ gıdakilerden hangisi
yanlı¸stır? (U ˙ IMO - 1996)
2x + 3y = 7 2
5x + ny = n 2 A) (x y) < 1
y
denklem sistemini sa˘ glayan en az bir (x; y) tamsayı B) tamsayıdır.
x
ikilisi vardır? (UMO - 2001)
C) x ve y tamsayı de˘ gildir.
˙ Ilk denklemi 5 ile ve ikinci denklemi de D) x + y tamsayıdır.
2 ile çarpıp denklemleri toplayarak; x’i yok edersek; E) Hiçbiri
15y 2ny = 35 2n 2
elde edilir. Buradan,
35 2n 2 1 + 2 = 8
y = x y 2x + y
15 2n
2
elde edilir. y 2 Z olmasını istiyoruz. y’nin tamsayı denklemi düzenlenirse, (2x y) = 0 olur. Buradan,
2
olabilmesi için, 35 2n sayısı, 15 2n ifadesine y = 2x’tir. Bu ba˘ gıntı
2
bölünebilmelidir. 15 2n sayısı 35 2n sayısını x + 2y = 4
2
2
bölüyorsa,
2
2 denkleminde kullanılırsa, 9x = 4 olur. Buradan,
2 35 2n 2n (15 2n) = 70 30n
2 2
sayısını da bölmelidir. Benzer dü¸sünceyle, 15 2n x = 3 veya x = 3
sayısı 70 30n sayısını bölüyorsa,
elde edilir. O halde, (x; y) ikilisi,
(70 30n) 15 (15 2n) = 155 = 5 31
2 4 2 4
sayısını da bölmelidir. Böylece, ; veya ;
3 3 3 3
15 2n 2 f 1; 5; 31; 155g
olur. Seçenekler incelenirse A, B, C ve D
olabilir. Buna göre; n de˘ geri 8 de˘ ger alabilir. seçeneklerinin do˘ gru oldu˘ gu görülür.