Page 263 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
262 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
Üç pozitif tamsayının çarpımı, ˙ Iki basamaklı sayılar içerisinde karesi
toplamlarının 6 katına e¸sittir. Bu sayıların biri rakamlarının toplamının küpüne e¸sit olan kaç sayı
di˘ ger ikisinin toplamına e¸sit oldu˘ guna göre, bu üç vardır?
sayının çarpımlarının olabilece˘ gi de˘ gerlerin toplamı
2 3
kaçtır? (AIME 2003) Sayımız ab olsun. (ab) = (a + b)
e¸sitli˘ gine göre,
Sayılarımız x; y ve z olsun. (10a + b) = (a + b) 3
2
P = xyz = 6 (x + y + z) ve z = x + y (9a + a + b) = (a + b) 3
2
e¸sitliklerine göre, 2 2 3
81a + 18a (a + b) + (a + b) = (a + b)
xy (x + y) = 6 (x + y + x + y) = 12 (x + y)
olur. Buradan da,
olmalıdır. Buradan, xy = 12 olur. 3 2
x = 1; y = 12 ise z = 13 ve P = 156 9a (11a + 2b) = (a + b) (a + b)
2
x = 2; y = 6 ise z = 8 ve P = 96 9a (11a + 2b) = (a + b) (a + b 1)
x = 3; y = 4 ise z = 7 ve P = 84
elde edilir. Son e¸sitlikte, (a + b) ve (a + b 1) sayıları
olabilir. Buna göre, yanıt 156+96+84 = 336 bulunur.
ardı¸sık sayılar oldu˘ gundan biri 9’a bölünebilmelidir.
Buna göre, a ve b rakam olduklarından a + b 1 = 9
yani, a + b = 10 olur. Bu durumda,
Toplamları, farkları, büyü˘ günün 2 3
küçü˘ güne bölümü ve çarpımlarının toplamı 225 (ab) = (10) = 1000
olan birbirinden farklı kaç do˘ gal sayı ikilisi vardır? olaca˘ gından ab tamsayı olamaz.
O halde a + b; 9’a bölünmelidir. Bunun için, a + b = 9
Sayılarımız a ve b olsun. Buna göre, veya a + b = 18 olmalıdır.
a a + b = 9 ise,
(a + b) + (a b) + + a b = 225
2
b (ab) = (9) = 3 3 = (27) 2
3
2

1
a 2 + + b = 225 e¸sitli˘ ginden, ab = 27 olur.
b
a 2 a + b = 18 ise,
(b + 1) = 225 2 3
b (ab) = (18)
2
= 3 5 2 e¸sitli˘ gine göre ab tamsayı olmaz. O halde istenilen
¸ sekildeki tek sayı 27’dir.
olur. Bu denklemde, b ve b + 1 aralarında asal
olduklarından, a, b ile bölünmelidir. Bunu göz önüne
alarak inceleyelim.
2
(b + 1) = 1 ise, b = 0’dır. (Bu durum olamaz)
2 2 2
(b + 1) = 3 ise, b = 2 ve a = 2 5 = 50;
2 2 2
(b + 1) = 5 ise, b = 4 ve a = 4 3 = 36;
2
(b + 1) = 15 2 ise, b = 14 ve a = 14 , yani, x; y; z; w pozitif tamsayıları için
a = b olur ki, bunu da istemiyoruz. x = y ; z = w ve z = x + 19
4
5
2
3
Böylece
oldu˘ guna göre w y ifadesinin de˘ geri kaçtır?
(50; 2) ve (36; 4)
(AIME 1985)
olmak üzere 2 tane ikili vardır.
4
5
+
x = m ve y = m (m 2 Z ) ile z = n 2
+
3
ve w = n (n 2 Z ) ¸seklinde yazabiliriz. O halde,
Toplamları, farkları, büyü˘ günün
2
4
küçü˘ güne bölümü ve çarpımlarının toplamı 36 olan n = m + 19
birbirinden farklı do˘ gal sayı ikililerini bulunuz. e¸sitli˘ ginden,
2 2
n m n + m = 19
olur. Bu e¸sitli˘ gin sa˘ glanması için,
2
2
n m = 1 ve n + m = 19
olmalıdır. Buradan, n = 10 ve m = 3 olaca˘ gından
5
3
5
3
w y = n m = 10 3 = 757
Yanıt : (9; 1) ve (8; 2) :
olur.