Page 264 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 263
Üç basamaklı bir sayının birler ve onlar x; y ve z reel sayılar olmak üzere,
basama˘ gı yer de˘ gi¸stirince sayının de˘ geri 36 artıyor, 1 1
yüzler ve birler basama˘ gı yer de˘ gi¸stirirse de sayının xyz = 1; x + z = 5 ve y + x = 11
de˘ geri 198 azalıyor. Buna göre, e˘ ger sayının onlar
1
ve yüzler basama˘ gı yer de˘ gi¸stirseydi sayının de˘ geri olsun. z + kaçtır?
y
nasıl de˘ gi¸sirdi? 1
z + = m olsun. Buna göre,
Sayımız abc olsun. Buna göre soruda y

verilenlere göre, 1 1 1
z + x + y + = m 5 11
acb = abc + 36 ve cba = abc 198 y z x
1 1 1 1
e¸sitlikleri sa˘ glanmaktadır. Bu e¸sitliklerin çözümlen- x + y + z + xyz + + + + = m 5 11
mesiyle, x y z xyz
e¸sitli˘ ginde xyz = 1 yazılırsa,
100a + 10c + b = 100a + 10b + c + 36
100c + 10b + a = 100a + 10b + c 198 x + y + z + 1 + 1 + 1 = m 5 11 2
x y z
denklemleri elde edilir. Bu denklemlerden de sırasıyla,
1 1 1
c b = 4 ve a c = 2 x + + y + + z + = m 5 11 2
z x y
e¸sitlikleri elde edilir. Bu e¸sitliklere göre, sırasıyla
elde edilir. Buradan, sırasıyla
bac = abc + x;
5 + 11 + m = m 5 11 2 ) 54m = 18
100b + 10a + c = 100a + 10b + c + x; 1
90b 90a = x; olur. Böylece m = 3 bulunur.
90 (b a) = x
elde edilir. Buradan da
x = 90 ( 6) = 540
bulunur. Yani, sayının de˘ geri 540 azalır.

Toplam a˘ gırlı˘ gı 500 kg olan 100 ta¸stan her
birinin a˘ gırlı˘ gı 1 kg, 10 kg veya 50 kg’dır. A˘ gırlı˘ gı
10 kg olan ta¸sların sayısının alabilece˘ gi kaç de˘ ger
vardır? (UMO - 2005)

A˘ gırlı˘ gı 1 olan x tane; 10 kg olan y tane ve
50 kg olan z tane olsun. Bu durumda,

x + 10y + 50z = 500
x + y + z = 100
n ve n + 100 sayılarının her ikisinin de denklem sistemi elde edilir.
pozitif bölenlerinin sayısı tek olacak ¸sekilde kaç y = 100 x z e¸sitli˘ gini ilk denklemde kullanırsa,
de˘ gi¸sik n pozitif tamsayısı vardır? x + 10 (100 x z) + 50z = 500
9x 40z = 500
Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısının
tek olması için; sayı tamkare olmalıdır. O halde; elde edilir. Son denklemden, 40z ve 500, 20’nin katı
oldu˘ gundan, x’in 20’nin katı olması gerekti˘ gi görülür.
2
2
2
n = x ve n + 100 = x + 100 = y
x = 20k yazıp sadele¸stirirsek, 9k 2z = 25 elde
olmalıdır. Buradan; edilir. Di˘ ger taraftan, z’nin yani, 50 kg’lık ta¸sların en
2 2
(y x) (y + x) = 100 = 2 5 fazla 10 tane olabilece˘ gi göz önüne alınırsa,
25 + 2z
e¸sitli˘ gine göre her iki çarpanın da çift olması gerekti˘ gi k =
göz önüne alınırsa; 9
ifadesinin sadece z = 1 için tamsayı oldu˘ gu görülür.
y + x = 50 ve y x = 2
Bu durumda, k = 3 ve x = 60 ve
e¸sitliklerinden; y = 26 ve x = 24 elde edilir. O halde;
y = 100 60 1 = 39
2
n = 24 = 576
bulunur. Yani, tüm ta¸sların sayısı sadece bir de˘ ger
elde edilir. Yani istenen ¸sekilde sadece bir sayı vardır. alabilir.