Page 31 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
30 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir

2
F Tek ve Çift Sayılar F Kaç farklı p asal sayısı için, p + 2p 1

bir asal sayıdır?
n bir tamsayı olmak üzere, 2n ¸seklinde ifade edilen
sayılara çift sayı, 2n 1 veya 2n + 1 ¸seklinde ifade
edilen sayılara da tek sayı denir. Çift sayıları, Ç ile, tek
sayıları da T ile gösterece˘ giz.
T T = Ç, T Ç = T; Ç Ç = Ç,
T T = T; T Ç = Ç, Ç Ç = Ç
+
ve n 2 Z için
n
n
T = T, Ç = Ç
biçimindedir.
Yanıt : Sadece 2 için asaldır. Di˘ gerleri için çifttir ve 2’ye
bölünür.

n bir tek sayı oldu˘ guna göre,
n + 1
n
a) 3n 1; b) n 1; c) ; d) n (2n + 1) F Asal Sayıların Birbiriyle Toplamı F
2
sayılarının tek-çift olup olmadıklarını belirtiniz. Tek sayıdaki asal sayının toplamı çift ise, asal sayılar-
dan biri mutlaka 2 olmalıdır.
(3 + 5 + 2 = 10 gibi.)
a) Çift. n tek ise, 3 katı da tektir ve bir tek sayıdan bir
Çift sayıdaki asal sayının toplamı tek ise, asal sayılar-
tek sayı çıkarsa çift olur.
dan biri mutlaka 2 olmalıdır.
b) Çift. Bir tek sayının tek kuvveti de tektir ve bir tek
sayıdan bir tek sayı çıkarsa çift olur. (3 + 5 + 7 + 2 = 17 gibi.)
c) Bir¸sey Söylenemez. Bir tek sayı ile bir tek sayının
toplamı çifttir. Fakat, yarısı tek de olabilir, çift te.
3 + 1 5 + 1
Örne˘ gin, = 2; = 3:
2 2
d) Tek. 2n + 1 daima bir tek sayıdır. n tek oldu˘ gundan,
iki tek sayının çarpımı da tektir.

3n 10; 6n 13 ve 5n 13 sayılarının üçü
de asal sayı olacak ¸sekilde kaç n pozitif tamsayısı
vardır?
6
p + 12p + 9 sayısı asal olacak ¸sekilde kaç
Verilen üç sayının toplamı,
p asal sayısı vardır?
(3n 10) + (5n 13) + (6n 13) = 14n 36
6
p bir tek asal sayı ise, p tek, 12p tek ve 9
oldu˘ gundan çifttir. Üç asal sayının toplamının çift
tek oldu˘ gundan toplamları olan
olabilmesi için; birinin mutlaka 2 olması gerekir. Buna
6
p + 12p + 9 göre,
3n 10 = 2 ise, n = 4 olaca˘ gından, 5n 13 = 7
sayısı da çift olur ki, bu durumda bu sayı asal olamaz.
ve 6n 13 = 11 oldu˘ gundan üçü de asal olur.
O halde, geriye p = 2 asal sayısı için, verilen ifadenin
5n 13 = 2 ise, n = 3 olur, fakat, 3n 10 asal
asal olup olmadı˘ gını kontrol etmek kalır.
olmaz.
6
2 + 12 2 + 9 = 97
6n 13 = 2 olması ise mümkün de˘ gildir.
asal oldu˘ gundan, istenen ¸sekildeki tek asal sayı 2’dir. O halde, sadece n = 4 de˘ geri için üç sayıda asal
sayıdır.