Page 265 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
264 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
2
n + n + 5 ifadesini tamkare yapan kaç n
tamsayısı vardır?
2
n + 4n 7
2
2
ifadesi tamkare olacak ¸sekilde kaç n tamsayısı n + n + 5 = m olsun. Buradan, tamkare
vardır? yapabilmek için e¸sitli˘ gi 4 ile çarpalım.
2
2
4m = 4n + 4n + 1 + 19
m bir tamsayı olmak üzere, 2 2
(2m) = (2n + 1) + 19;
2
n + 4n 7 = m 2
ve buradan elde edilen
2
olsun. Bu ifadeyi (2m) (2n + 1) = 19;
2
2
n + 4n + 4 11 = m 2
e¸sitli˘ ginden
biçiminde yazalım. Buradan,
2 2 (2m 2n 1) (2m + 2n + 1) = 19
(n + 2) m = 11
elde edilir. Buradan,
˙
olacaktır. Iki kare farkından,
2m 2n 1 = 1 2m 2n 1 = 19
(n + 2 m) (n + 2 + m) = 11 2m + 2n + 1 = 19 veya 2m + 2n + 1 = 1
elde edilir. Bu e¸sitli˘ gin sa˘ glanması için, olur. Birinci denklem sisteminden, n = 4; ikinciden

n m + 2 = 1; n m + 2 = 11; de, n = 5 bulunur. O halde, istenen ¸sekilde sadece iki
;
n + m + 2 = 11 n + m + 2 = 1 tane n de˘ geri vardır.

n m + 2 = 1 n m + 2 = 11
n + m + 2 = 11 ; n + m + 2 = 1 ;
olmalıdır. Bu denklem sistemlerinden de, n = 4 veya
n = 8 elde edilir.
2
n + 3n + 4 ifadesini tamkare yapan n
tamsayılarını bulunuz.

2
Yanıt : 0 ve 3: (4 ile çarpıp, 4n + 12n + 16 =
2
2
m + 6m + 28 (2n + 3) + 7 oldu˘ gunu kullanınız.)
sayısı tamkare olacak ¸sekilde kaç tane m tamsayısı
vardır? (Harvard MIT Math. Tournament 2003) 2
n + 19n + 96 ifadesini tamkare yapan n
tamsayılarının çarpımı kaçtır?
2
2
m + 6m + 28 = n diyelim. Buradan,
2
2
n (m + 3) = 19
yazılabilir.
(n m 3) (n + m + 3) = 19
e¸sitli˘ ginden,
n + m + 3 = 19 ve n m 3 = 1;
n + m + 3 = 1 ve n m 3 = 19;
n + m + 3 = 19 ve n m 3 = 1; Yanıt : ( 4) ( 15) = 60: (4 ile çarpıp,
n + m + 3 = 1 ve n m 3 = 19 4n + 76n + 384 = (2n + 19) + 23 oldu˘ gunu
2
2
denklem sistemleri elde edilir ki, bu sistemlerden kullanınız.)
m = 6 veya m = 12 elde edilir.