Page 266 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 265
1000’den küçük kaç n do˘ gal sayısı için m ve n tamsayılar olmak üzere,
2
2
2 2
2
n + 8n 85 m + 3m n = 30n + 517
2 2
ifadesi 101’e bölünür? (U ˙ IMO - 2008) oldu˘ guna göre, 3m n kaçtır? (AIME 1987)
2
2
m = x ve n = y diyelim. Bu durumda
2
n + 8n 85 sayısı 101’e bölünüyorsa, 101 eklersek denklem,
de bölünmelidir. 101 eklenirse, x + 3xy = 30y + 517
2
n + 8n + 16 = (n + 4) 2 ¸ sekline dönü¸sür. Bu denklemi de,
olur. Bu ifadenin 101’e bölünebilmesi için, x + 3xy 30y 10 = 517 10
n + 4 = 101k yani n = 101k 4 x (1 + 3y) 10 (3y + 1) = 507
¸ seklinde olmalıdır. (x 10) (3y + 1) = 3 13 2
1000’den küçük
¸ seklinde düzenleyebiliriz. 3y + 1 ifadesi 3’e
n = 101k 4 bölünemeyece˘ gine göre, (x 10) ifadesi 3’e
formunda kaç sayı oldu˘ gunu bulalım. bölünmelidir. Di˘ ger taraftan,
2
k = 1; 2; 3; :::; 9 3y + 1 = 3n + 1 = 13 2
için 1000’den küçük olacaktır. Yani 9 tane do˘ gal sayı olamayaca˘ gından, x 10 = 3 olamaz. O halde
2
için n + 8n 85 ifadesi 101’e bölünür. x 10 = m 10 = 3 13 = 39
2
olmalıdır. Buradan, m = 7 ve n = 2 elde edilir.
2 2
Böylece, 3m n = 588 olur.

x y
y
2 2 2 2 x+1 = 16 denklemini
sa˘ glayan (x; y) pozitif tamsayı ikililerini bulunuz.
y
x
2 = a ve 2 = b diyelim. Bu durumda,
denklem
ab b 2a = 16
biçiminde olur. Her iki tarafa 2 eklersek, denklemi
(y x) (y + x) = 51 + 6y b (a 1) 2 (a 1) = 18
denkleminin pozitif tamsayılarda kaç tane (x; y) veya
çözümü vardır?
(a 1) (b 2) = 18
¸ seklinde yazarız. Hem a hem de b çift oldu˘ gundan,
a 1 tek ve b 2 çift olmalıdır. Buna göre,
(y x) (y + x) = 51 + 6y
a 1 = 1 a 1 = 3 a 1 = 9
e¸sitli˘ gi düzenlenirse, sırasıyla b 2 = 18 ; b 2 = 6 ; b 2 = 2
2 2
y 6y + 9 x = 60;
olabilir.
(y 3 x) (y 3 + x) = 2 2 3 5 a 1 = 1 2 = 2
x
) y
olur. b 2 = 18 2 = 20
(y 3 x) ve (y 3 + x) için, y tamsayı olamaz.
x
çarpanlarından her ikisi de ya tek ya da çifttir. O halde, a 1 = 3 2 = 4
y
b 2 = 6 ) 2 = 8
y 3 x = 2 y 3 x = 30
y 3 + x = 30 ; y 3 + x = 2 ; için, x = 2 ve y = 3 olur. (2; 3) çözümdür.
x
y 3 x = 10 ; y 3 x = 6 ; a 1 = 9 2 = 10
y
y 3 + x = 6 y 3 + x = 10 b 2 = 2 ) 2 = 4
denklem sistemlerinden, denklemin tamsayılarda 4 için, x tamsayı olamaz.
çözümü oldu˘ gu görülebilir. O halde, denklemi sa˘ glayan bir tek (x; y) ikilisi vardır.