Page 267 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
266 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
2
k
2
n (n + 1) = p denklemini sa˘ glayan tüm xy = 128 (x 1) e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç
p asal sayılarını ve n ve k pozitif tamsayılarını (x; y) pozitif tamsayı ikilisi vardır? (U ˙ IMO - 2009)
bulunuz.
2
2
xy = 128 (x 1) ise,
n ile n + 1 sayıları ardı¸sıktır ve biri tek biri 2 7 2
çifttir. O halde, bu denklemin sa˘ glanması için, e¸sitli˘ gin xy = 2 (x 1)
sa˘ g tarafındaki sayının çift olması gerekir ki, p asal e¸sitli˘ gine göre, x ve (x 1) aralarında asal
2
oldu˘ gundan sadece 2 olabilir. Bu durumda, p = 2 için, oldu˘ gundan ve y ’nin tamkare oldu˘ gu da göz önüne
n (n + 1) = 2 k alınırsa, x sayısı, 2’nin tek kuvvetlerine e¸sit olabilir.
Buna göre,
olur. Bu e¸sitli˘ gin sa˘ glanabilmesi sadece n = 1 1 6 2 3
x = 2 ise, y = 2 (x 1) e¸sitli˘ ginden, y = 2
durumunda mümkündür. Çünkü, n > 1 durumunda,
olur.
sol tarafın bir tek çarpanı vardır, oysa sa˘ g taraf 2’nin x = 2 ise, y = 2 (x 1) e¸sitli˘ ginden, y = 2 7
2
4
2
3
k
bir kuvvetidir. Buna göre, n = 1 yazılırsa, 2 = 2 olur.
olur.
Buradan k = 1 elde edilir. 5 2 2
x = 2 ise, y = 2 (x 1) e¸sitli˘ ginden, y = 2 31
olur.
2
7
x = 2 ise, y = (x 1) e¸sitli˘ ginden, y = 127
p asal ve n pozitif tamsayı olmak üzere;
olur.
n
(1 + p) = 1 + pn + n p Yani, istenen ¸sekilde 4 tane (x; y) pozitif tamsayı ikilisi
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç (p; n) sıralı ikilisi vardır? vardır.
(UMO - 2001)
p = 2 için;
2
n
3 = 1 + 2n + n = (n + 1) 2 x; y ve z asal sayılar olmak üzere,

e¸sitli˘ ginden n = 2 elde edilir. O halde, (2; 2) bir x + y + z = 20
çözümdür. p 3 için; p asal sayıları tek oldu˘ gundan; y + 2x = z
n
(1 + p) = 1 + pn + n p denklem sisteminin kaç çözümü vardır?
e¸sitli˘ ginde; sol taraf daima çift iken; sa˘ g taraf ise daima
tek oldu˘ gundan istenen ¸sekilde ba¸ska asal sayı yoktur. Üç asal sayının toplamının bir çift sayı
olması için sayılardan biri mutlaka 2 olmalıdır. Aksi
durumda, üçü de tek asal sayı olursa toplam da tek sayı
p ve q asal sayıları için, p + q ve p + 7q olacaktır. Di˘ ger taraftan, y bir çift sayı olamaz, çünkü,
y çift olursa sistemin ikinci denklemine göre z de çift
sayıları tamkare olacak ¸sekilde kaç (p; q) ikilisi
olmak zorunda olur. O halde x = 2 olmalıdır. Bu de˘ ger
vardır? (Harvard MIT Math. Tournament 2002)
denklemlerde yerine yazılırsa,
2
2
p + q = x ve p + 7q = y diyelim. Bu y + z = 18 ve y + 4 = z
iki e¸sitlikten, denklemleri elde edilir. Bu denklemlerin çözümünden,
2
2
6q = y x = (y x) (y + x) z = 11 ve y = 7
elde edilir. Bu e¸sitli˘ gin sol tarafı çift oldu˘ gundan, sa˘ g bulunur.
taraf ta çift olmalıdır. y x ve y + x sayılarının biri
tek biri çift olamaz. O halde, ikisi de çift olmalıdır.
Bu durumda, sa˘ g taraf 4’e bölünmektedir. O zaman,
sol taraf ta bölünmesi gerekir ki, bu q asal sayısının
˙
çift olması anlamına gelir ve buradan q = 2 bulunur. FAralarında Asal Iki Kesirin E¸sitli˘ gi F
Böylece,
a; b; x ve y pozitif tamsayıları için,
(y x) (y + x) = 12
a x
=
bulunur. x ve y pozitif kabul edilebilir. Bu durumda, b y
x + y = 6 ve y x = 2 e¸sitli˘ ginde, a ile b aralarında asal ve x ile y de aralarında
olmalıdır. Bu iki denklemden de, x = 2 ve y = 4 asal ise,
bulunur. Böylece, p = 2 olur. O halde, istenen a = x ve b = y
¸ sekildeki tek (p; q) ikilisi (2; 2) bulunur. olmak zorundadır.