Page 268 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 267

n bir pozitif tamsayı ve p; q asal sayılar ise,
2 6
p (2n) = q (2n 1)

denklemini çözünüz. F Bir Orantı Özelli˘ gi F

a; b; x ve y pozitif tamsayıları için,
Verilen denklemi
a x a + x
(2n) 2 q 6 = = k ise = k
= b y b + y
2n 1 p e¸sitli˘ gi sa˘ glanır. En genel halde, m; n 2 Z için,
¸ seklinde yazalım. Sol taraftaki, 2n ve 2n 1 sayıları ma + nx
ardı¸sık olduklarından aralarında asaldır. Sa˘ g tarafta da mb + ny = k
p ve q asal oldu˘ gundan, sadele¸semezler. O halde, olur.
2
6
q = (2n) ve p = (2n 1)
olmalıdır.
6
q = (2n) 2
e¸sitli˘ ginde, sa˘ g taraf çift ve q asal oldu˘ gundan, q
sayısı bir çift asal sayı yani 2 olmalıdır. Bu durumda,
6
2
2 = 4n , e¸sitli˘ ginden, n = 4 olur. n = 4 ise, p = 7
olur.
x y x + y 3x y
p bir asal olmak üzere; p (x + y) = xy 2x + 3 = 2 x = x + 2
denklemini sa˘ glayan kaç (x; y) tamsayı ikilisi denklem sisteminin çözümlerini bulunuz.
vardır?

p (x + y) = xy e¸sitli˘ ginden,
x y x + y 3x y
px + py xy = 0 ) x (p y) + py = 0 2x + 3 = 2 x = x + 2 = k
olur. Sol tarafta ortak çarpana alabilmek için, her iki ise, ilk iki e¸sitlikten,
2
taraftan p çıkaralım. (x y) + (x + y) 2x
2
x (p y) + py p = p 2 (2x + 3) + (2 x) = x + 5 = k (*)
e¸sitli˘ ginden ve son iki e¸sitlikten de,
x (p y) p (p y) = p 2 (x + y) + (3x y) = 4x = k
(2 x) + (x + 2) 4
ve buradan da,
olur ki, buradan
2
(x p) (y p) = p
k = x
olur. Buna göre,

x p = p x p = p bulunur. Buna göre, ( ) e¸sitli˘ ginde k = x yazılırsa,
; ;
y p = p y p = p 2x 2
= x ) x + 3x = 0
2 x + 5
x p = p x p = 1
y p = 1 ; y p = p 2 ; olur ki buradan x = 0 veya x = 3 elde edilir.
Böylece,
2
x p = p ; x p = 1
y p = 1 y p = p 2 x y = k = x
2x + 3
olabilir. Buradan, (x; y)’nin sırasıyla,
e¸sitli˘ gine göre,
(2p; 2p) ; (0; 0) ; (p (p + 1) ; p + 1) ;
(p + 1; p (p + 1)) ; (p (1 p) ; p 1) ;
x = 0 ) y = 0;
(p 1; p (1 p)) ;
x = 3 ) y = 12
ikililerinden biri olması gerekir. O halde; 6 tane (x; y)
tamsayı ikilisi vardır. bulunur. Denklemin çözümleri, (0; 0) ve ( 3; 12)’dir.