Page 269 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
268 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
x 1 3 x y y 2
= = denklem x + y + z = 90 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç
xy 3 7 x y 2 xy 4
2
sisteminin kaç çözümü vardır? (UMO - 2005) (x; y; z) pozitif tamsayı üçlüsü için
x y z
= =
n n + 1 n + 2
ko¸sulunu sa˘ glayan bir n pozitif tamsayısı vardır?
x 1 3 x y y 2
= = = k (UMO - 2004)
2
xy 3 7 x y 2 xy 4
orantısında, birinci ve üçüncü oranları toplarsak,
x + y 3 3 x y
= = k x y z
2
2xy 7 7 x y 2 = = = k
n n + 1 n + 2
elde edilir. Bu e¸sitli˘ ge göre,
olsun, x = nk ve y = nk +k e¸sitliklerinden, y = x+k
2
2
2xy 7 = x + y 7 olur. x ve y tamsayı oldu˘ gundan k sayısı da tamsayı
2
2
olmalıdır. Bu denklemden de, x + y 2xy = 0 yani, olmalıdır. Ayrıca, orantı özelli˘ ginden,
x = y elde edilir. Böylece, x + y + z = 90 = 30 = k
x 1 y 2 n + n + 1 + n + 2 3n + 3 n + 1
=
xy 3 xy 4 elde edilir. k 2 Z için, n + 1; 30’u bölmesi
gerekti˘ ginden,
e¸sitli˘ ginde, x = y yazarsak,
x 1 x 2 2 n + 1 2 f2; 3; 5; 6; 10; 15; 30g
= ) x 3 = (x + 2) (x 1)
2
x 3 x 4 olabilir. Yani, n, 7 pozitif tamsayı de˘ geri olabilir. Bu
2
) x = 1 = y sayılar, 1; 2; 4; 5; 9; 14 ve 29 sayılarıdır.
elde edilir. Ayrıca, k = 0 alınırsa, x = 1 ve y = 2
için de orantı sa˘ glandı˘ gından, denklem sisteminin iki Üslü Denklemler
çözümü vardır : (1; 2) ve ( 1; 1) :

F 1’e E¸sit Olan Üslü Denklemlerin Çözümü F

y
x = 1 olması üç durumda mümkündür.
x 2y x + y y x
= = denklem i) x 6= 0 ve x 2 R ve y = 0 ise,
2x + 2 2 x x 4
sisteminin çözümlerini bulunuz. ii) x = 1 ve y 2 R ise;
iii) x = 1 ve y çift tamsayı ise.
2 x+1
x 3x + 1 = 1 e¸sitli˘ ginin kaç
tamsayı çözümü vardır? (U ˙ IMO - 2000)

x+1
2
Yanıt : (0; 0) ve (1; 1=2) : x 3x + 1 = 1
denklemini inceleyelim.
x 1 y 1 + 2y x + y i) x + 1 = 0 ise, x = 1 ve dolayısıyla 5 = 1
0
= = denklem
2x 1 x + 3 x 8 oldu˘ gundan denklem sa˘ glanır.
sisteminin çözümlerini bulunuz. 2
ii) x 3x + 1 = 1 ise,
x (x 3) = 0
e¸sitli˘ ginden, x = 0 veya x = 3 olur.
2
iii) x 3x + 1 = 1 ise,
2
x 3x + 2 = 0
e¸sitli˘ ginden, (x 1) (x 2) = 0 olur ki, üssün yani
x + 1’in çift olması gerekti˘ ginden, x = 2 sa˘ glamaz.
Fakat x = 1 sa˘ glar. O halde, verilen denklemin 4
Yanıt : ( 5; 23=24) : tamsayı çözümü vardır.