Page 270 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 269
2
2x 18
(x 3) = 1 denkleminin kaç a; b; c; c; d; 2 Z için
kökü vardır? 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 6
e
d
a
b
c
ise a + 2b + 3c + 4d + 5d =?
5 tabanındaki 5 üslü sayının toplamı, yine 5 tabanında
bir üslü sayı olarak verilmi¸s. O halde,
a = b = c = d = e = 6 1 = 5
Yanıt : 3, f4; 3; 2g :
olmalıdır. Bu durumda,
a + 2b + 3c + 4d + 5d = 5 (1 + 2 + 3 + 4 + 5)
5 6
= 5
2
= 75
z
y
y z olmak üzere, x + x = x 100
bulunur.
denklemini sa˘ glayan (x; y; z) üçlüsünü bulunuz.
y
z
x + x = x 100 denkleminin her iki tarafı
y
x ile bölünürse,

1 + x z y = x 100 y , x z y x 100 z 1 = 1
elde edilir. Bu e¸sitli˘ gin sa˘ glanması için,
z = y ve x 100 z = 2
olmalıdır. Buradan, x = 2 ve 100 z = 1
olaca˘ gından, z = y = 99 bulunur.
(x; y; z) = (2; 99; 99)
olur.

F Aynı Tabanlı Üslü Denklemlerin Bir Özelli˘ gi F

n 2 Z + tabanlı n tane pozitif tamsayı üslü sayının
toplamının, yine n tabanlı bir sayıya e¸sit olması için, n 3a 2b 5c
tane üslü sayının tamamının üsleri birbirine e¸sit olması 2 + 2 = 2
gerekir. Yani, e¸sitli˘ gini sa˘ glayan en küçük (a; b; c) pozitif tamsayı
n m 1 + n m 2 + n m 3 + + n m n = n k üçlüsü kaçtır?
e¸sitli˘ ginin sa˘ glanması için,

m 1 = m 2 = = m n
3a = 2b = 5c 1
olmalıdır. Bu durumda, k = m 1 + 1 olur.
Kanıt : Böyle olması gerekti˘ gi aksini varsayarak gös- olmalıdır. En küçük çözüm için, 2 ve 3’e tam bölünen
terilebilir. E˘ ger, ve 1 fazlası 5’e bölünen en küçük sayıyı bulmalıyız.
Yani,
m 1 = m 2 = = m n
olmasaydı. Bunlardan en küçük olan m n olmak üzere, 6k + 1 = 5m

n m n n m 1 m n + n m 2 m n + + 1 olmalı. Buradan, k = 4 oldu˘ gundan,
¸ seklinde yazıldı˘ gında, ikinci çarpan n r formunda 3a = 2b = 5c 1 = 24
yazılamayacaktı. olması gerekti˘ gi görülür. Yani,

a = 8; b = 12 ve c = 5
bulunur.