Page 271 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
270 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
˙
3 3a + 3 4b + 3 5c = 3 7d e¸sitli˘ gini sa˘ glayan Kısıtlama Ile Çözülen Denklemler
a; b; c; d pozitif tamsayıları için
a + b + c + d a + b = b 101 denklemini sa˘ glayan kaç
2
toplamının alabilece˘ gi en küçük de˘ ger kaçtır? (a; b) tamsayı ikilisi vardır?
(U ˙ IMO - 1999)

2
a = b 101 b = b b 100 1
7d 1 = 3a = 4b = 5c
yazalım. b 2 için
olmalıdır. En küçük çözüm için, 3; 4 ve 5’e tam b ve b 100 1
bölünen ve 1 fazlası 7’ye bölünen en küçük sayıyı
bulmalıyız. sayıları aralarında asal olaca˘ gından; e¸sitli˘ gin sol
tarafının tamkare olması nedeniyle, bu sayıların her
EKOK(3; 4; 5) = 60 100
ikisi de tamkare olmalıdır. Fakat; b sayısı zaten bir
oldu˘ gundan; tamkare oldu˘ gundan; b 100 1 sayısı tamkare olamaz.
7d = 60k + 1 Dolayısıyla; b 2 olamaz. Yani, b 1 olmalıdır. Buna
göre,
olmalıdır. Bunun sa˘ glayan en küçük k sayısı 5 b = 1 ise, a = 0; b = 0 ise, a = 0;
oldu˘ gundan; 7d = 301 e¸sitli˘ ginden, d = 43 olur. b = 1 ise, a = 0
Buradan;
olur. Ayrıca, b 2 olamaz. Çünkü; bu durumda da,
a = 100; b = 75 ve c = 60 2
a < 0 olur. O halde denklemin sa˘ glayan (a; b) pozitif
elde edilir. Böylece; tamsayı ikilileri,
a + b + c + d = 100 + 75 + 60 + 43 = 278 (0; 1) ; (0; 0) ve (0; 1)
elde edilir olmak üzere, 3 tanedir.

y
x + 1 = y (x + 1) e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç
tane (x; y) pozitif tamsayı çifti vardır?

y
x + 1 > y (x + 1) olaca˘ gı açıktır. Yani,
bu durumda çözüm olamaz. O halde; x; y 3 için;
çözüm olup olmayaca˘ gına bakalım.
x = 0 ise, y = 1;
x = 1 ise, 1 + 1 = 2y e¸sitli˘ ginden, y = 1;
y
x = 2 ise, 2 + 1 = 3y e¸sitli˘ ginden, y = 3 veya y = 1
y
x = 3 ise, 3 + 1 = 4y e¸sitli˘ ginden, y = 1 bulunur.
e
5 3a + 25 4b + 125 5c + 5 2d + 5 = 5 7n O halde; denklemin çözümleri
(0; 1) ; (1; 1) ; (2; 1) ; (2; 3) ve (3; 1)
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan a;b; c; d; e pozitif tamsayıları için
n pozitif tamsayısının alabilece˘ gi en küçük de˘ ger olarak bulunur.
kaçtır?
x
2 (4 x) = 2x + 4 denkleminin kaç tane
tamsayı çözümü vardır?
x
2 her zaman pozitiftir. Buna göre;
2 (x + 2)
x
2 = > 0
4 x
e¸sitsizli˘ ginden, 2 < x < 4 elde edilir. x = 1 ve
x = 3 için
x
2 (4 x) = 2x + 4
denklemi sa˘ glanmaz. x = 0; x = 1 ve x = 2 için
Yanıt : n = 103: denklem sa˘ glanır. O halde, denklemin üç çözümü
vardır.