Page 272 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 271
˙
Mutlak De˘ gerli Ifadeler ve
n
n + 1 = (n + 1) (2n + 1) Denklemler
e¸sitli˘ ginin tamsayılar kümesinde kaç çözümü
vardır? (UMO - 1995)
F Mutlak De˘ gerli Ifadeler ve Denklemler F
˙

n 4 için;
P (x), x bilinmeyenli bir ifade olmak üzere,
n
n + 1 > (n + 1) (2n + 1)
jP (x)j = a
olaca˘ gı açıktır. O halde; n 3 olmalıdır. Di˘ ger
biçimindeki denklemlerde,
taraftan; n 2 için; sol taraf kesinlikle bir kesir
olaca˘ gından; tamsayı olan sa˘ g tarafa e¸sit olması P (x) = a veya P (x) = a
mümkün olamaz. O halde; ¸ seklinde yazılarak denklem çözülür.
1 n 3
olmalıdır.
n = 1 ise, 1 + 1 = 0 = 0 oldu˘ gundan, denklem
sa˘ glanır.
0
n = 0 ise, 0 tanımsızdır.
j2x 3j = 5 ise x =?
n = 1 ise, 1 + 1 6= 2 3 denklem sa˘ glanmaz.
n = 2 ise, 4 + 1 6= 3 5 denklem sa˘ glanmaz.
n = 3 ise, 28 = 4 7 = 28 denklem sa˘ glanır. O halde;
Ç:K. = f 1; 3g
2x 3 = 5 veya 2x 3 = 5
bulunur.
olabilir. Bu denklemlerin çözümünden,
x = 4 veya x = 1
bulunur.

p bir asal sayı ve n bir pozitif tamsayı
olmak üzere;
n
p
n p = 1

e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç tane (p; n) ikilisi vardır? x 1
= 3 ise x =?
2

2
n
p = 2 için, n 2 = 1 e¸sitli˘ ginden, n = 3
olur; (p; n) = (2; 3) bir çözümdür.
p > 2 olsun. Bu durumda; p tek asal oldu˘ gundan,
n
p
p = n 1
p 1 p 2
= (n 1) n + n + + 1
¸ seklinde çarpanlara ayrılabilir. Bu e¸sitli˘ ge göre Yanıt : 7; 5:
n 1 = 1 olmalıdır. Bu durumda n = 2 olur. Buradan;
2
p
p = 2 1
elde edilir. Fakat, p > 3 için,
˙
p
2
p < 2 1 F Iki Mutlak De˘ gerli Denklemler F

olacaktır. p = 3 içinse e¸sitlik sa˘ glanmaz. O halde, A (x) ve B (x) ; x bilinmeyenli iki ifade olmak üzere,
denklemin tek çözümü (2; 3)’tür.
jA (x)j + jB (x)j = a
ise denklem A (x) ve B (x)’in pozitif veya negatif ol-
masına göre incelenir.